Тейлор қатары – функцияны көрсеткішті функциялар шексіз қосындысы ретінде жазу. Тейлор қатарының дербес қосындылары болып Тейлор көпмүшелігі саналады. Rn(x)=f(x)-Sn(x) Тейлор қатарының қалдық мүшесі, мұндағы Sn(x) – Тейлор қатарының алғашқы n+1 мүшесінің қосындысы. болғанда Тейлор қатары f(x) функциясына жинақты болады, яғни формуласы шығады. Бұл формуланы 1715 жылы ағылшын математигі Б.Тейлор (1685 – 1731) тапқан, х0=0 болған кезде Маклорен қатары шығады. Осыған сүйене отырып, негізгі элементар функциялардың Тейлор қатарына жіктелуін жазуға болады.
[ 1]
Анықтама
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
a
{\displaystyle {a}}
нүктесі төңірегінде шексіз дифференциалдана алатын функция болсын. Формальды қатар
∑ ∑ -->
k
=
0
∞ ∞ -->
f
(
k
)
(
a
)
k
!
(
x
− − -->
a
)
k
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^{k}}
f
{\displaystyle f}
функциясының
a
{\displaystyle a}
нүктесіндегі Тейлор қатары деп аталады.
Тейлор формуласы
Теорема:
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
U
(
a
,
ϵ ϵ -->
)
{\displaystyle U(a,\epsilon )}
a
{\displaystyle a}
нүктесінің белгілі төңірегінде
n
+
1
{\displaystyle n+1}
туындысы болсын
Пусть
x
∈ ∈ -->
U
(
a
,
ϵ ϵ -->
)
{\displaystyle x\in U(a,\epsilon )}
Пусть
p
{\displaystyle p}
— кез келген оң сан,
онда:
x
<
a
{\displaystyle x<a}
үшін
∃ ∃ -->
{\displaystyle \exists }
нүктесі
ξ ξ -->
∈ ∈ -->
(
x
,
a
)
{\displaystyle \xi \in (x,a)}
немесе
x
>
a
{\displaystyle x>a}
болғанда
ξ ξ -->
∈ ∈ -->
(
a
,
x
)
{\displaystyle \xi \in (a,x)}
:
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+
∑ ∑ -->
k
=
1
n
f
(
k
)
(
a
)
k
!
(
x
− − -->
a
)
k
+
(
x
− − -->
a
x
− − -->
ξ ξ -->
)
p
(
x
− − -->
ξ ξ -->
)
n
+
1
n
!
p
f
(
n
+
1
)
(
ξ ξ -->
)
{\displaystyle f(x)=f(a)+\sum _{k=1}^{n}{f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^{k}+\left({x-a \over x-\xi }\right)^{p}{(x-\xi )^{n+1} \over n!p}f^{(n+1)}(\xi )}
Кейбір функциялар үшін Маклорен қатарлары
f (x ) = 1/(1 + x 2 ) функциясының Pk Тэйлор полиномдарымен x = 0 (қызыл) және x = 1 (жасыл) орталандырылған k = 1, ..., 16 дәрежелі жіктелу аппроксимациялары. Аппроксимациялар (-1,1) және (1-√2,1+√2) сырттарында жақсармайды.
Экспонента :
e
x
=
1
+
x
1
!
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
⋯ ⋯ -->
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
x
n
n
!
,
x
∈ ∈ -->
C
{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},x\in \mathbb {C} }
Натурал логарифм :
ln
-->
(
1
+
x
)
=
x
− − -->
x
2
2
+
x
3
3
− − -->
⋯ ⋯ -->
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
n
x
n
+
1
n
+
1
=
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
n
+
1
x
n
n
,
{\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{n+1}}{n+1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}},}
барлық
|
x
|
<
1
{\displaystyle \left|x\right|<1}
үшін
Биномдық жіктеу :
(
1
+
x
)
α α -->
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
(
α α -->
n
)
x
n
,
{\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n},}
барлық
|
x
|
<
1
{\displaystyle \left|x\right|<1}
үшін және барлық
α α -->
,
{\displaystyle ~\alpha ,}
комплекс ан үшін, мұндағы
(
α α -->
n
)
=
∏ ∏ -->
k
=
1
n
α α -->
− − -->
k
+
1
k
=
α α -->
(
α α -->
− − -->
1
)
⋯ ⋯ -->
(
α α -->
− − -->
n
+
1
)
n
!
{\displaystyle {\alpha \choose n}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}\!}
Жекеше түрі:
1
+
x
=
1
+
x
2
− − -->
x
2
8
+
x
3
16
+
⋯ ⋯ -->
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
n
(
2
n
)
!
(
1
− − -->
2
n
)
n
!
2
4
n
x
n
,
{\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\frac {x}{2}}-{\frac {x^{2}}{8}}+{\frac {x^{3}}{16}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)n!^{2}4^{n}}}x^{n},}
барлық
|
x
|
<
1
{\displaystyle |x|<1\!}
үшін
1
1
− − -->
x
=
1
+
x
+
x
2
+
x
3
+
⋯ ⋯ -->
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
x
n
,
{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }x^{n},}
барлық
|
x
|
<
1
{\displaystyle |x|<1}
үшін
Шекті геометриялық қатар:
1
− − -->
x
m
+
1
1
− − -->
x
=
∑ ∑ -->
n
=
0
m
x
n
,
{\displaystyle {\frac {1-x^{m+1}}{1-x}}=\sum _{n=0}^{m}x^{n},}
барлық
x
≠
1
,
m
∈ ∈ -->
N
0
{\displaystyle x\not =1,\ m\in \mathbb {N} _{0}\!}
үшін
Тригонометриялық функциялар :
sin
-->
x
=
x
− − -->
x
3
3
!
+
x
5
5
!
− − -->
⋯ ⋯ -->
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
n
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
+
1
,
x
∈ ∈ -->
C
{\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1},x\in \mathbb {C} }
cos
-->
x
=
1
− − -->
x
2
2
!
+
x
4
4
!
− − -->
⋯ ⋯ -->
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
n
(
2
n
)
!
x
2
n
,
x
∈ ∈ -->
C
{\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n},x\in \mathbb {C} }
tg
-->
x
=
x
+
x
3
3
+
2
x
5
15
+
⋯ ⋯ -->
=
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
B
2
n
(
− − -->
4
)
n
(
1
− − -->
4
n
)
(
2
n
)
!
x
2
n
− − -->
1
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \ x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1},}
барлық
|
x
|
<
π π -->
2
,
{\displaystyle \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}},}
үшін, мұндағы
B
2
n
{\displaystyle B_{2n}}
— Бернулли сандары
sec
-->
x
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
n
E
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
{\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}}
барлық
|
x
|
<
π π -->
2
{\displaystyle \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}
arcsin
-->
x
=
x
+
x
3
6
+
3
x
5
40
+
⋯ ⋯ -->
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
(
2
n
)
!
4
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
x
2
n
+
1
{\displaystyle \arcsin x=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}}
барлық
|
x
|
<
1
{\displaystyle \left|x\right|<1}
үшін
arctg
-->
x
=
x
− − -->
x
3
3
+
x
5
5
− − -->
⋯ ⋯ -->
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
n
2
n
+
1
x
2
n
+
1
{\displaystyle \operatorname {arctg} \ x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}}
барлық
|
x
|
<
1
{\displaystyle \left|x\right|<1}
үшін
Гиперболалық функция :
sh
(
x
)
=
x
+
x
3
3
!
+
x
5
5
!
+
⋯ ⋯ -->
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
1
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
+
1
,
x
∈ ∈ -->
C
{\displaystyle \operatorname {sh} \,\left(x\right)=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1},x\in \mathbb {C} }
ch
(
x
)
=
1
+
x
2
2
!
+
x
4
4
!
+
⋯ ⋯ -->
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
1
(
2
n
)
!
x
2
n
,
x
∈ ∈ -->
C
{\displaystyle \operatorname {ch} \,\left(x\right)=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n},x\in \mathbb {C} }
th
(
x
)
=
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
B
2
n
4
n
(
4
n
− − -->
1
)
(
2
n
)
!
x
2
n
− − -->
1
{\displaystyle \operatorname {th} \,\left(x\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}}
барлық
|
x
|
<
π π -->
2
{\displaystyle \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}
үшін
arsh
(
x
)
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
n
(
2
n
)
!
4
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
x
2
n
+
1
{\displaystyle \operatorname {arsh} \,\left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}}
барлық
|
x
|
<
1
{\displaystyle \left|x\right|<1}
үшін
arth
(
x
)
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
1
2
n
+
1
x
2
n
+
1
{\displaystyle \operatorname {arth} \,\left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}}
барлық
|
x
|
<
1
{\displaystyle \left|x\right|<1}
үшін
Сілтемелер
↑ «Қазақстан»: Ұлттық энцклопедия / Бас редактор Ә. Нысанбаев – Алматы «Қазақ энциклопедиясы» Бас редакциясы, 1998 жыл. ISBN 5-89800-123-9 , VIII том