純虚指数函数
初等解析学 における函数 cis とは、実数 x を複素数 cos(x ) + i sin(x ) に対応させる関数のことである[1] [2] [3] [4] 。ここで cos は余弦関数 、sin は正弦関数 、i は虚数単位 である。
cis(x ) ≔ cos(x ) + i sin(x )
"cis " は "c os + i s in " の省略形である。
この函数 cis: R → S 1 (⊂ C *) は、複素指数函数 ez を用いれば、オイラーの公式 より
cis(x ) = eix
と表せる。すなわち純虚変数 ix の指数函数 (じゅんきょへんすうのしすうかんすう、英 : imaginary exponential function )として書くことができる。複素指数函数とは別にこのような表記を設けることは、一見冗長であるように思われるが、偏角 x の関数であることを強調する上で有用となる。
概観
初めて造語 cis が用いられたのはウィリアム・ローワン・ハミルトン の著書 Elements of Quaternions (1866)[5] であり、引き続いてアーヴィング・ストリンガム (英語版 ) が Uniplanar Algebra (1893)[6] [7] などで、あるいはジェームズ・ハークネス (英語版 ) とフランク・モーリー (英語版 ) が Introduction to the Theory of Analytic Functions (1898)[7] [8] で用いた。
cis関数は、複素数平面 においてオイラーの公式 を通じて三角関数 と複素指数函数 とを結びつけるもので、極形式を簡素化したいが、複素指数函数が教育課程で未習の場合、または何らかの理由で用いたくない場合に使用する[5] [6] [1] 。
情報技術において、様々な高度数学ライブラリ(例えばインテル の Math Kernel Library (MKL)[9] )でサポートされており、多くのコンパイラやプログラミング言語(例えば C , C++ ,[10] Common Lisp ,[11] [12] D ,[13] Fortran ,[14] Haskell [15] )およびオペレーティングシステム(例えば Windows , Linux ,[14] macOS や HP-UX [16] )で利用できる。プラットホームによっては、正弦函数と余弦函数を個別に呼び出すよりも二倍ほど速い[13] [17] 。
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第二次世界大戦後、数式記述にタイプライターが用いられるようになったころから、この記法はより広まった。上付き添え字は 'cis ' や 'exp ' よりも小さく、また上に偏っているから、手書きの場合でさえ困ることがある。e ix 2 , cis(x 2 ) , exp(ix 2 ) を比較してみると、読み手には cis(x 2 ) が見易く読み取り易い[要出典 ] 。
cos(x ) + i sin(x ) を cis(x ) と表記する cis 記法は、ある種の記憶術 (c,i,s → cos + i sin ) であり、cis函数について議論する数学者や技術者にとって、本質を強調するために有用となることがある。
性質
複素数 z = x + iy (x , y は実数)に対して、複素指数函数 は次の式で表せる:
cis(x ) = cos(x ) + i sin(x ) [18] と、
cis(−x ) = cos(−x ) + i sin(−x ) = cos(x ) − i sin(x )
を連立することにより、cos(x ), sin(x ) は cis関数で表せる:
cos
-->
(
x
)
=
cis
-->
(
x
)
+
cis
-->
(
− − -->
x
)
2
=
e
i
x
+
e
− − -->
i
x
2
,
{\displaystyle \cos(x)={\frac {\operatorname {cis} (x)+\operatorname {cis} (-x)}{2}}={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},}
sin
-->
(
x
)
=
cis
-->
(
x
)
− − -->
cis
-->
(
− − -->
x
)
2
i
=
e
i
x
− − -->
e
− − -->
i
x
2
i
{\displaystyle \sin(x)={\frac {\operatorname {cis} (x)-\operatorname {cis} (-x)}{2i}}={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}
微分:
d
d
z
cis
-->
(
z
)
=
i
cis
-->
(
z
)
=
i
e
i
z
{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {cis} (z)=i\operatorname {cis} (z)=ie^{iz}}
[19]
積分:
∫ ∫ -->
cis
-->
(
z
)
d
z
=
− − -->
i
cis
-->
(
z
)
=
− − -->
i
e
i
z
{\displaystyle \int \operatorname {cis} (z)\,dz=-i\operatorname {cis} (z)=-ie^{iz}}
[18]
以下はオイラーの公式から直ちに従う:
cis
-->
(
x
+
y
)
=
cis
-->
(
x
)
cis
-->
(
y
)
{\displaystyle \operatorname {cis} (x+y)=\operatorname {cis} (x)\,\operatorname {cis} (y)}
[20]
cis
-->
(
x
− − -->
y
)
=
cis
-->
(
x
)
cis
-->
(
y
)
{\displaystyle \operatorname {cis} (x-y)={\operatorname {cis} (x) \over \operatorname {cis} (y)}}
これらの等式は x , y が任意の複素数として成り立つ。x , y がともに実ならば
|
cis
-->
(
x
)
− − -->
cis
-->
(
y
)
|
≤ ≤ -->
|
x
− − -->
y
|
{\displaystyle |\operatorname {cis} (x)-\operatorname {cis} (y)|\leq |x-y|}
[20]
と評価することができる。
関連項目
参考文献
^ a b Swokowski, Earl; Cole, Jeffery (2011). Precalculus: Functions and Graphs (12 ed.). Cengage Learning . ISBN 0840068573 . 9780840068576. https://books.google.com/books?id=8GB2Udf8wnoC 2016年1月18日 閲覧。
^ Simmons, Bruce (2014年7月28日). “Cis ”. Mathwords: Terms and Formulas from Algebra I to Calculus . Oregon City, OR, US: Clackamas Community College , Mathematics Department. 2016年1月15日 閲覧。
^ Simmons, Bruce (2014年7月28日). “Polar Form of a Complex Number ”. Mathwords: Terms and Formulas from Algebra I to Calculus . Oregon City, OR, US: Clackamas Community College , Mathematics Department. 2016年1月15日 閲覧。
^ Pierce, Rod (2016年1月4日). “Complex Number Multiplication ”. Maths Is Fun . 2016年1月15日 閲覧。
^ a b ウィリアム・ローワン・ハミルトン (1866-01-01). “II. Fractional powers, General roots of unity” . written at Dublin. In Hamilton, William Edwin. Elements of Quaternions . University Press , Michael Henry Gill , Dublin (printer) (1 ed.). London, UK: Longmans, Green & Co. . pp. 250–257, 260, 262–263. https://archive.org/stream/bub_gb_fIRAAAAAIAAJ#page/n5/mode/1up 2016年1月17日 閲覧 . "{{small[…] cos […] + i sin […] we shall occasionally abridge to the following: […] cis […]. As to the marks […], they are to be considered as chiefly available for the present exposition of the system, and as not often wanted, nor employed, in the subsequent practise thereof; and the same remark applies to the recent abrigdement cis, for cos + i sin […]}}" ([1] , [2] )
^ a b Stringham-1893Irving Stringham (1893-07-01). Uniplanar Algebra, being part 1 of a propædeutic to the higher mathematical analysis . 1 . C. A. Mordock & Co. (printer) (1 ed.). San Francisco, US: The Berkeley Press . pp. 71-75, 77, 79-80, 82, 84-86, 89, 91-92, 94-95, 100-102, 116, 123, 128-129, 134-135. https://archive.org/details/uniplanaralgebra00stri 2016年1月18日 閲覧 . "As an abbreviation for cos θ + i sin θ it is convenient to use cis θ , which may be read: sector of θ . "
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^ Harkness-Morley-1898James Harkness ; Frank Morley (1898). Introduction to the Theory of Analytic Functions (1 ed.). London, UK: Macmillan and Company . pp. 18, 22, 48, 52, 170. ISBN 978-1164070191 . 1164070193. https://books.google.com/books?id=W1FLAAAAMAAJ 2016年1月18日 閲覧。 (NB. ISBN for reprint by Kessinger Publishing, 2010.)
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^ “Intel C++ Compiler Reference ”. Intel Corporation . pp. 34, 59-60 (2007年). 2016年1月15日 閲覧。
^ “CIS ”. Common Lisp Hyperspec . The Harlequin Group Limited (1996年). 2016年1月15日 閲覧。
^ “CIS ”. LispWorks, Ltd. (2005年). 2016年1月15日 閲覧。
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^ a b Fuchs, Martin (2011). “8.IV: Spezielle Funktionen – Die trigonometrischen Funktionen” (German). Analysis I (WS 2011/2012 ed.). Fachrichtung 6.1 Mathematik, Universität des Saarlandes , Germany´. pp. 16-20. http://www.math.uni-sb.de/ag/fuchs/Ana1/Paragraph8.pdf 2016年1月15日 閲覧。
外部リンク
Weisstein, Eric W. "Cis" . mathworld.wolfram.com (英語).