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数学 におけるリーマン–ジーゲルの公式 (リーマン・ジ-ゲルのこうしき、英 : Riemann–Siegel formula )はリーマンゼータ函数 の「近似函数等式」(二つのディリクレ級数 の和によるゼータ函数の近似)の誤差項に対する漸近公式 (英語版 ) である。この公式は、Siegel (1932) が1850年代からのベルンハルト・リーマン の未発表原稿において発見した。ジーゲルはこれをリーマン–ジーゲル積分公式 (ゼータ函数の周回積分 表示)から導いた。この積分公式はしばしばリーマン–ジーゲルの公式の値の計算に(ときには計算を劇的に速くするオドリツコ–シェーンハーゲ・アルゴリズム (英語版 ) と組み合わせて)用いられる。臨界帯に沿って用いるとき、公式はハーディゼータ函数 に対する公式となり、しばしば有用である。
M, N を非負整数とするとき、ゼータ函数は
ζ ζ -->
(
s
)
=
∑ ∑ -->
n
=
1
N
1
n
s
+
γ γ -->
(
1
− − -->
s
)
∑ ∑ -->
n
=
1
M
1
n
1
− − -->
s
+
R
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s}}}+\gamma (1-s)\sum _{n=1}^{M}{\frac {1}{n^{1-s}}}+R(s)}
に等しい(近似函数等式)。ただし、
γ γ -->
(
s
)
=
π π -->
1
2
− − -->
s
Γ Γ -->
(
s
2
)
Γ Γ -->
(
1
2
(
1
− − -->
s
)
)
{\displaystyle \gamma (s)=\pi ^{{\tfrac {1}{2}}-s}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {s}{2}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(1-s)\right)}}}
は函数等式 ζ (s ) = γ (1 − s ) ζ (1 − s ) に現れる乗因子で、周回積分
R
(
s
)
=
− − -->
Γ Γ -->
(
1
− − -->
s
)
2
π π -->
i
∫ ∫ -->
(
− − -->
x
)
s
− − -->
1
e
− − -->
N
x
e
x
− − -->
1
d
x
{\displaystyle R(s)={\frac {-\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int {\frac {(-x)^{s-1}e^{-Nx}}{e^{x}-1}}dx}
の積分路は +∞ を基点(始点および終点)とし、絶対値 高々 2πM の特異点をすべて囲む。
この近似函数等式は誤差項の大きさに対する評価を与える Siegel (1932) および Edwards (1974) では、この誤差項 R (s ) の ℑm(s ) に関する負冪の級数としての漸近展開 を与えるために、この積分に最急降下法 (英語版 ) を適用して、リーマン–ジーゲルの公式を導出している。応用上、s はふつう臨界帯上にとり、正整数 M, N は (2π Im(s ))1/2 の近くに取る。Gabcke (1979) はリーマン–ジーゲルの公式の誤差に関してよい評価を求めている。
リーマンの積分公式
リーマンは
∫ ∫ -->
0
↘ ↘ -->
1
e
− − -->
i
π π -->
u
2
+
2
π π -->
i
p
u
e
π π -->
i
u
− − -->
e
− − -->
π π -->
i
u
d
u
=
e
i
π π -->
p
2
− − -->
e
i
π π -->
p
e
i
π π -->
p
− − -->
e
− − -->
i
π π -->
p
{\displaystyle \int _{0\searrow 1}{\frac {e^{-i\pi u^{2}+2\pi ipu}}{e^{\pi iu}-e^{-\pi iu}}}du={\frac {e^{i\pi p^{2}}-e^{i\pi p}}{e^{i\pi p}-e^{-i\pi p}}}}
を示した。ここで積分路は、0 と 1 の間を通過する傾き −1 の直線である (Edwards 1974 , 7.9)。
彼はこれを使って、次に示すゼータ関数の積分公式を導き出した。
π π -->
− − -->
s
/
2
Γ Γ -->
(
s
2
)
ζ ζ -->
(
s
)
=
π π -->
− − -->
s
/
2
Γ Γ -->
(
s
2
)
∫ ∫ -->
0
↙ ↙ -->
1
x
− − -->
s
e
π π -->
i
x
2
e
π π -->
i
x
− − -->
e
− − -->
π π -->
i
x
d
x
+
π π -->
− − -->
1
− − -->
s
2
Γ Γ -->
(
1
− − -->
s
2
)
∫ ∫ -->
0
↘ ↘ -->
1
x
s
− − -->
1
e
− − -->
π π -->
i
x
2
e
π π -->
i
x
− − -->
e
− − -->
π π -->
i
x
d
x
{\displaystyle \pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\int _{0\swarrow 1}{\frac {x^{-s}e^{\pi ix^{2}}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}}\,dx+\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\int _{0\searrow 1}{\frac {x^{s-1}e^{-\pi ix^{2}}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}}\,dx}
関連項目
参考文献
Berry, Michael V. (1995), “The Riemann–Siegel expansion for the zeta function: high orders and remainders”, Proceedings of the Royal Society. London. Series A. Mathematical, Physical and Engineering Sciences 450 (1939): 439–462, doi :10.1098/rspa.1995.0093 , ISSN 0962-8444 , MR 1349513 , Zbl 0842.11030
Edwards, H.M. (1974), Riemann's zeta function , Pure and Applied Mathematics, 58 , New York-London: Academic Press, ISBN 0-12-232750-0 , Zbl 0315.10035
Gabcke, Wolfgang (1979) (German), Neue Herleitung und Explizite Restabschätzung der Riemann-Siegel-Formel , Georg-August-Universität Göttingen, Zbl 0499.10040 , https://hdl.handle.net/11858/00-1735-0000-0022-6013-8
Patterson, S.J. (1988), An introduction to the theory of the Riemann zeta-function , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 14 , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-33535-3 , Zbl 0641.10029
Siegel, C. L. (1932), “Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie”, Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. und Phys. Abt. B: Studien 2 : 45–80, JFM 58.1037.07 , Zbl 0004.10501 Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag , 1966.
外部リンク