ヒルベルト・サミュエル関数

可換環論において可換ネーター局所環 A 上有限生成な 0 でない加群 M と A の準素イデアル I のヒルベルト・サミュエル関数 (Hilbert–Samuel function) は、David Hilbert と Pierre Samuel（英語版） にちなんで名づけられているが^[1]、写像 ${\displaystyle \chi _{M}^{I}\colon \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$ であってすべての ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ に対して

${\displaystyle \chi _{M}^{I}(n)=\ell (M/I^{n}M)}$

であるようなものである、ただし ${\displaystyle \ell }$ は A 上の長さを表す。それは伴う次数加群（英語版） ${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}(M)}$ のヒルベルト関数（英語版）と恒等式

${\displaystyle \chi _{M}^{I}(n)=\sum _{i=0}^{n}H(\operatorname {gr} _{I}(M),i),}$

によって関連付けられる。十分大きい ${\displaystyle n}$ に対して、それは次数が ${\displaystyle \dim(\operatorname {gr} _{I}(M))}$ に等しい多項式関数と一致する^[2]。

例

二変数の形式的冪級数の環 ${\displaystyle k[[x,y]]}$ を自身の上の加群と考え順序によって次数付け、イデアルを単項式 x² と y³ によって生成されたものとすると、

${\displaystyle \chi (1)=1,\quad \chi (2)=3,\quad \chi (3)=5,\quad \chi (4)=6{\text{ and }}\chi (k)=6{\text{ for }}k>4.}$^[2]

次数の制限

ヒルベルト関数とは違って、ヒルベルト・サミュエル関数は完全列に対して加法的でない。しかしながら、アルティン・リースの補題の結果として、それはなお加法的であることにある程度近い。${\displaystyle P_{I,M}}$ でヒルベルト・サミュエル多項式を表記する。すなわち、それは十分大きい整数に対してヒルベルト・サミュエル関数と一致する。

${\displaystyle (R,m)}$ をネーター局所環とし、I を m-準素イデアルとする。

${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$

が有限生成 R-加群の完全列で、${\displaystyle M/IM}$ の長さが有限であれば^[3][4]、

${\displaystyle P_{I,M}=P_{I,M'}+P_{I,M''}-F}$

ただし F は次数が ${\displaystyle P_{I,M'}}$ の次数よりも真に小さい多項式で、正の leading coefficient をもつ。とくに、${\displaystyle M'\simeq M}$ であれば、 ${\displaystyle P_{I,M''}}$ の次数は ${\displaystyle P_{I,M}=P_{I,M'}}$ の次数よりも真に小さい。

証明： 与えられた完全列を ${\displaystyle R/I^{n}}$ でテンソルして核を計算すると、完全列

${\displaystyle 0\to (I^{n}M\cap M')/I^{n}M'\to M'/I^{n}M'\to M/I^{n}M\to M''/I^{n}M''\to 0}$

を得、これから

${\displaystyle \chi _{M}^{I}(n-1)=\chi _{M'}^{I}(n-1)+\chi _{M''}^{I}(n-1)-\ell ((I^{n}M\cap M')/I^{n}M')}$.

右辺第三項はアルティン・リースによって評価できる。実際、補題によって、大きい n とある k に対して、

${\displaystyle I^{n}M\cap M'=I^{n-k}((I^{k}M)\cap M')\subset I^{n-k}M'.}$

したがって、

${\displaystyle \ell ((I^{n}M\cap M')/I^{n}M')\leq \chi _{M'}^{I}(n-1)-\chi _{M'}^{I}(n-k-1)}$.

これは望んだ次数の制限を与える。

関連項目

• en:j-multiplicity

参考文献

1. H. Hironaka, Resolution of Singularities of an Algebraic Variety Over a Field of Characteristic Zero: I. Ann. of Math. 2nd Ser., Vol. 79, No. 1. (Jan., 1964), pp. 109-203.
2. ^ Atiyah, M. F. and MacDonald, I. G. Introduction to Commutative Algebra. Reading, MA: Addison–Wesley, 1969.
3. これは ${\displaystyle M'/IM'}$ と ${\displaystyle M''/IM''}$ もまた有限の長さをもつことを意味する。
4. Eisenbud, David, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8. Lemma 12.3.