数学 における直和 （ちょくわ、英 : direct sum ）は、既知の数学的対象を「貼り合わせ」て同じ種類の対象を新たに作り出す操作の一種で、歴史的経緯から対象によってやや異なる意味で用いられるが、大雑把には集合論的、代数学的、圏論的用法に大別できる。またいずれの用法においても、直和を取る対象が全て一つの大きな対象の部分となっている場合（内部直和、構造的直和）と、そのようなものを仮定しない場合（外部直和、構成的直和）を区別することができる（場合によってはそれらの記述は見かけ上大きく異なる）が、それらの間に自然な同型 があるため理論上区別して扱わないこともある。そのような自然同型は、しばしば圏論的直和 （あるいは双積）の普遍性によって捉えることができる。
直和を表すのに用いられる記号には
⊕ ⊕ -->
,
∐ ∐ -->
{\textstyle \oplus ,\coprod }
→「直和位相|位相空間の直和」も参照
集合論的な意味での、集合の（外部）直和は互いに交わらない（つまり共通部分 が空 である）ような集合の合併 （英 : disjoint union 、非交和 ）によって与えられる。たとえば、ある位相空間 の部分集合の、内部 と境界 と外部の和は直和になっている。
二つの集合 A, B がともに一つの集合の部分集合となっているときには、一般にはそれらが交わるため単純な合併では直和は与えられない。集合の（内部）直和は、各元の出自がどの集合であるかを指示する符牒を与えたうえでとった合併（discriminated union; 識別和）によって与えられる。A や B に属さない記号をたとえば * として、集合 A * ≔ A ∪ {*}, B * ≔ {*} ∪ B 埋め込み
A
↪ ↪ -->
A
∗ ∗ -->
× × -->
B
∗ ∗ -->
;
a
↦ ↦ -->
(
a
,
∗ ∗ -->
)
,
{\displaystyle A\hookrightarrow A^{*}\times B^{*};\;a\mapsto (a,*),}
B
↪ ↪ -->
A
∗ ∗ -->
× × -->
B
∗ ∗ -->
;
b
↦ ↦ -->
(
∗ ∗ -->
,
b
)
{\displaystyle B\hookrightarrow A^{*}\times B^{*};\;b\mapsto (*,b)}
が得られ、この埋め込みによって A* × B* の部分集合と見なした A, B は交わりを持たない。この埋め込み像を記号の濫用で A*, B* と書けば A* × B* の部分集合としてとった和集合 A* ∪ B* を A と B の直和といい A ⊔ B A * と A , B * と B はそれぞれ同一視して区別しない。
代数学的直和は、与えられた同じ型の代数系 からなる族 の直積 のある部分空間に対して、それぞれの代数系がもつ所定の演算などの構造を成分ごと に定義することによって与えられる。
例えば有限個のベクトル空間 W 1 , …, Wn 直積 に対して、和とスカラー倍を成分ごとに与えたベクトル空間 W のことを W 1 , …, Wn W ≔ W 1 ⊕ ⋯ ⊕ Wn
またベクトル空間 V の n 個の部分空間 W 1 , …, Wn
W
i
∩ ∩ -->
∑ ∑ -->
i
≠ ≠ -->
j
W
j
=
{
0
}
{\displaystyle W_{i}\cap \sum _{i\neq j}W_{j}=\{0\}}
を満たすとき、それらの和空間 （英語版 ） W ≔ W 1 + ⋯ + Wn W 1 , …, Wn W = W 1 ⊕ ⋯ ⊕ Wn
内部直和 W 1 ⊕ ⋯ ⊕ Wn W 1 , …, Wn
必ずしも有限個でない場合の直和は、以下のように定義される。例えば任意個の環上の加群 からなる族 {Mi }i ∈I に対して、それらの直積
∏ ∏ -->
i
∈ ∈ -->
I
M
i
{\displaystyle \prod _{i\in I}M_{i}}
に含まれる元[ 注釈 1] 0 であるようなもの」全体の成す集合を考える。元の間に演算を (xi )i ∈I yi )i ∈I xi + yi )i ∈I , 環の作用を a ⋅(xi )i ∈I axi )i ∈I a は環の元）で与えると、この集合は加群になる。これを加群の束 {Mi }i ∈I の直和と呼ぶ。なお、この定義から作用を無視すれば自然にアーベル群 の直和が得られる。
ある加群の任意の元が部分加群 {Mi } の元の有限の和として一意的に書き表せるとき、この加群は {Mi } の直和と同型になる。直和はこのようにして構造的に定義することもできる。これに対して既に述べたような定義を構成的ということもある。
ベクトル空間と同じように、直和加群の長さはそれぞれの加群の長さ（またはアーベル群のランク）の和になる。
圏論 における直和 （英 : coproduct ; 余積 、双対直積 ）とは、直積 (product ) の双対 概念で、次の普遍性 を持つ対象 A のことである：
直和の普遍性
対象の族 {Aλ }λ ∈Λ を考える。対象 A と射 iλ : Aλ → A X と写像 fλ : Aλ → X
f
λ λ -->
=
f
∘ ∘ -->
i
λ λ -->
{\displaystyle f_{\lambda }=f\circ i_{\lambda }}
f : A → X 集合の圏 では、この圏論的定義でいう直積・直和と、上で述べた 「集合の直積・直和」 の概念は一致する。ところが、一般にはそうはならない。たとえば、
単位元を持つ可換環の圏 における直和とは 「環のテンソル積 」 であって、上で述べた 「環の直和」 は圏論的直積である。
群の圏 における直和は「群の自由積 」と呼ばれるものである。アーベル群の圏 においては、直和は「直和」であり直積は「直積」である。この場合、有限個の対象に対する直積と直和は同じ対象を定め双積 （英語版 ） 加群の圏 においても同様である）。
^ これが空でないことは選択公理 を要さないことに注意。これは加群が零元という特定の基点を持つことに由来する。すなわち、各直和因子において零元をとることにより少なくとも一つの元を得ることができる
Rowland, Todd; Weisstein, Eric W. "Direct Sum" . mathworld.wolfram.com (英語). direct sum in nLab direct sum PlanetMath .（英語） Definition:Internal Direct Sum of Rings at ProofWiki Tsalenko, M.Sh. (2001), “Direct sum” , in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics ISBN 978-1-55608-010-4 , https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Direct_sum 
