小さい圏の圏

数学の特に圏論における（小さい）圏の圏（ちいさいけんのけん、英: category of small categories）Cat は、すべての小さい圏を対象とし、圏の間の函手を射とする圏である。実際には、Cat は自然変換を二次元の射（英語版） (2-射) とする二次圏（英語版） (2-圏) を成すものと見なせる。

Cat の始対象は対象も射も持たない空圏 0 であり^[1]、終対象はただ一つの対象とただ一つの射（唯一の対象上の恒等射）のみからなる圏 1（自明圏あるいは終圏という）である^[2]。

小さい圏の圏 Cat それ自身は大きい圏であり、それゆえ自身を対象として含むことはない。ラッセルの逆理（の圏版）を避けるには「すべての（小さいとは限らない）圏の圏」はあってはならないが、「すべての圏の擬圏」(quasi­category^{[注釈 1]} of categories) CATを考える^{[注釈 2]}ことはできる（擬圏は大きい圏を対象にできるという意味で圏ではないとすれば、圏の擬圏は自身を対象に含まない）。

性質

圏の圏 Cat は、各圏に対してその恒等射と射の合成を忘れることにより、箙の圏 Quiv への忘却函手（英語版） U: Cat → Quiv が定義できる。この忘却函手 U の左随伴 F: Quiv → Cat は各箙にそれが生成する自由圏（英語版）を対応させる自由函手である。

注

注釈

1. 高次圏論において、これとは異なる意味で (∞-圏のモデルとして) quasi­category（英語版） という語が用いられる^[3]が、それと混同してはならない
2. CAT in nLab などを見よ

出典

1. empty category in nLab
2. terminal category in nLab
3. 例えば [1]

関連項目

• 脈体 (圏論)（英語版）

外部リンク

• Cat in nLab
• category of small categories - PlanetMath.（英語）