合成作用素

数学において、記号 φ との合成作用素（ごうせいさようそ、英: composition operator）C_φ とは、

${\displaystyle C_{\phi }(f)=f\circ \phi }$

という決まりによって定義される線型作用素のことを言う。ここで f ∘ φ は合成写像を意味する。圏論の用語を用いると、合成作用素とは、可測函数の空間上の引き戻しである。したがって引き戻しが押し出し（英語版）の随伴となるのと同様に、合成作用素は転送作用素の随伴となる。すなわち合成作用素は逆像函手（英語版）である。

合成作用素の研究は AMS category 47B33 によりカバーされている。

作用素論

合成作用素の定義域は適当なバナッハ空間（これは、しばしば正則函数からなる）に取るのが普通である。例えば、ハーディ空間やベルグマン空間がそのような空間として挙げられる。合成作用素の研究における興味深い問題は、作用素のスペクトル性質が函数空間にどのように依存するか、という点に関するものが多い。またその他の問題として、C_φ がコンパクトであるかあるいはトレースクラスであるか、というものがある。その答えは通常、函数 φ がある領域の境界上でどのように振る舞うか、という点に依存して変わる。

応用

数学において、合成作用素はしばしば、例えばバーリング＝ラックスの定理（英語版）やウォルドの分解（英語版）などのシフト作用素の研究に現れる。シフト作用素は一次元スピン格子として研究できる。合成作用素はまたアレクサンドロフ＝クラーク測度（英語版）の理論にも現れる。

合成作用素の固有方程式はシュレーダーの方程式であり、その主固有函数 f(x) はしばしばシュレーダー函数やケーニヒス函数（英語版）と呼ばれる。

物理学の、特に力学系の分野において、合成作用素はしばしば、数学者バーナード・コープマン（英語版）の名にちなんで、コープマン作用素（Koopman operator）と呼ばれる^[1][2]。この作用素はフロベニウス＝ペロン作用素あるいは転送作用素の左随伴である。

関連項目

• 乗算作用素
• 合成環（英語版）
• カーレマン行列

参考文献

1. B.O. Koopman, "Hamiltonian systems and transformations in Hilbert space", (1931) Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA, 17, pp.315-318.
2. Pierre Gaspard, Chaos, scattering and statistical mechanics, (1998) Cambridge University Press

• C. C. Cowen and B. D. MacCluer, Composition operators on spaces of analytic functions. Studies in Advanced Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 1995. xii+388 pp. ISBN 0-8493-8492-3.
• J. H. Shapiro, Composition operators and classical function theory. Universitext: Tracts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1993. xvi+223 pp. ISBN 0-387-94067-7.