数学 の実解析 あるいは測度論 の分野におけるヴィタリの収束定理 （ヴィタリのしゅうそくていり、英 : Vitali convergence theorem ）とは、イタリア の数学者 ジュゼッペ・ヴィタリ （英語版 ） アンリ・ルベーグ の有名な優収束定理 の一般化として知られる。一様可積分性 に依存する強い結果であり、問題となる関数列に対して支配的な関数を見つけることが出来ないときに重宝する。そのような支配的な関数を見つけられるときは、ルベーグの定理がヴィタリの定理の特別な場合として従う。
(
X
,
F
,
μ μ -->
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}
測度空間 とする。もし
μ μ -->
(
X
)
<
∞ ∞ -->
{\displaystyle \mu (X)<\infty }
{
f
n
}
{\displaystyle \{f_{n}\}}
一様可積分
f
n
(
x
)
→ → -->
f
(
x
)
{\displaystyle f_{n}(x)\to f(x)}
a.e. as
n
→ → -->
∞ ∞ -->
{\displaystyle n\to \infty }
|
f
(
x
)
|
<
∞ ∞ -->
{\displaystyle |f(x)|<\infty }
が満たされるなら、次が成立する:[ 1]
f
∈ ∈ -->
L
1
(
μ μ -->
)
{\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{1}(\mu )}
lim
n
→ → -->
∞ ∞ -->
∫ ∫ -->
X
|
f
n
− − -->
f
|
d
μ μ -->
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}-f|d\mu =0}
定理の1を証明するために、ファトゥの補題 を用いる:
∫ ∫ -->
X
|
f
|
d
μ μ -->
≤ ≤ -->
lim inf
n
→ → -->
∞ ∞ -->
∫ ∫ -->
X
|
f
n
|
d
μ μ -->
{\displaystyle \int _{X}|f|d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}|d\mu }
一様可積分性により、
μ μ -->
(
E
)
<
δ δ -->
{\displaystyle \mu (E)<\delta }
E
{\displaystyle E}
∫ ∫ -->
E
|
f
n
|
d
μ μ -->
<
1
{\displaystyle \int _{E}|f_{n}|d\mu <1}
E
{\displaystyle E}
エゴロフの定理 （英語版 ）
f
n
{\displaystyle {f_{n}}}
E
C
{\displaystyle E^{C}}
p
{\displaystyle p}
n
>
p
{\displaystyle n>p}
∫ ∫ -->
E
C
|
f
n
− − -->
f
p
|
d
μ μ -->
<
1
{\displaystyle \int _{E^{C}}|f_{n}-f_{p}|d\mu <1}
三角不等式 により
∫ ∫ -->
E
C
|
f
n
|
d
μ μ -->
≤ ≤ -->
∫ ∫ -->
E
C
|
f
p
|
d
μ μ -->
+
1
=
M
{\displaystyle \int _{E^{C}}|f_{n}|d\mu \leq \int _{E^{C}}|f_{p}|d\mu +1=M}
これらの上界に関する不等式を、初めのファトウの補題による不等式の右辺に適用することにより、定理の1は示される。 定理の2のために、不等式
∫ ∫ -->
X
|
f
− − -->
f
n
|
d
μ μ -->
≤ ≤ -->
∫ ∫ -->
E
|
f
|
d
μ μ -->
+
∫ ∫ -->
E
|
f
n
|
d
μ μ -->
+
∫ ∫ -->
E
C
|
f
− − -->
f
n
|
d
μ μ -->
{\displaystyle \int _{X}|f-f_{n}|d\mu \leq \int _{E}|f|d\mu +\int _{E}|f_{n}|d\mu +\int _{E^{C}}|f-f_{n}|d\mu }
E
∈ ∈ -->
X
{\displaystyle E\in X}
μ μ -->
(
E
)
<
δ δ -->
{\displaystyle \mu (E)<\delta }
この右辺の項はそれぞれ、上の定理の1と
f
n
{\displaystyle f_{n}}
n
>
N
{\displaystyle n>N}
(
X
,
F
,
μ μ -->
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}
測度空間 とする。もし
μ μ -->
(
X
)
<
∞ ∞ -->
{\displaystyle \mu (X)<\infty }
f
n
∈ ∈ -->
L
1
(
μ μ -->
)
{\displaystyle f_{n}\in {\mathcal {L}}^{1}(\mu )}
lim
n
→ → -->
∞ ∞ -->
∫ ∫ -->
E
f
n
d
μ μ -->
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{E}f_{n}d\mu }
E
∈ ∈ -->
F
{\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}
が満たされるなら、
{
f
n
}
{\displaystyle \{f_{n}\}}
[ 1]
Folland, Gerald B. (1999). Real analysis . Pure and Applied Mathematics (New York) (Second edition ed.). New York: John Wiley & Sons Inc.. pp. xvi+386. ISBN 0-471-31716-0 MR 1681462 Rosenthal, Jeffrey S. (2006). A first look at rigorous probability theory (Second edition ed.). Hackensack, NJ: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd.. pp. xvi+219. ISBN 978-981-270-371-2 MR 2279622
