ペティス積分

数学の分野におけるペティス積分（ペティスせきぶん、英: Pettis integral）あるいはゲルファント-ペティス積分（イズライル・ゲルファントとビリー・ジェームス・ペティス（英語版）の名にちなむ）とは、双対性を利用することによって、バナッハ空間に値を取るような測度空間上の関数へとルベーグ積分の定義を拡張したものである。測度空間がルベーグ測度を備える区間であるような場合に対して、ゲルファントによって導入された。強積分であるボホナー積分と区別されて、弱積分と呼ばれることもある。

定義

${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ を測度空間、${\displaystyle B}$ をバナッハ空間とし、${\displaystyle f:X\to B}$ および ${\displaystyle E\in \Sigma }$ を定める。次を満たすような ${\displaystyle A\in B}$ が存在するとき、それを ${\displaystyle f}$ の ${\displaystyle E}$ についてのペティス積分と呼ぶ：

${\displaystyle \langle v,A\rangle =\int _{E}\langle v,f(t)\rangle \,d\mu (t)\ \ \forall v\in B'.}$

但し ${\displaystyle B'}$ は ${\displaystyle B}$ の双対空間とする。このような ${\displaystyle A}$ は次のように表記される：

${\displaystyle A=\int _{E}f(t)\,d\mu (t).}$

関連項目

• ベクトル測度
• 弱可測関数

参考文献

• J. K. Brooks, Representations of weak and strong integrals in Banach spaces, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 63, 1969, 266–270. Fulltext
• I.M. Gel'fand, Sur un lemme de la théorie des espaces linéaires, Commun. Inst. Sci. Math. et Mecan., Univ. Kharkoff et Soc. Math. Kharkoff, IV. Ser. 13, 1936, 35–40 Zbl 0014.16202
• M. Talagrand, Pettis Integral and Measure Theory, Memoirs of the AMS no. 307 (1984)
• Sobolev, V. I. (2001), “Pettis integral”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Pettis_integral