ゴレンシュタイン環
可換環論 において、Gorenstein 局所環 (Gorenstein local ring) はネーター 可換局所環 R であって、R -加群として有限の移入次元 をもつものである。同値な条件がたくさんあり、そのうちのいくつかは以下にリストされるが、多くはある種の双対の条件を扱う。
Gorenstein 環は Grothendieck によって導入され、彼が名前を付けたが、その理由は Gorenstein (1952) によって研究された特異平面曲線の双対の性質との関係である（Gorenstein は Gorenstein 環の定義を理解していないと主張することを好んだ）。0次元のケースは Macaulay (1934) によって研究されていた。Serre (1961) と Bass (1963) は Gorenstein 環の概念を公表した。
0次元 Gorenstein 環の非可換環における類似はフロベニウス環 と呼ばれる。
ネーター局所環については次の包含関係が成り立つ。
強鎖状環 ⊃ コーエン・マコーレー環 ⊃ ゴレンシュタイン環 ⊃ 完全交叉環 ⊃ 正則局所環
Gorenstein 環 は可換環であって素イデアル における各局所化 が Gorenstein 局所環であるようなものである。Gorenstein 環の概念はより一般的なコーエン・マコーレー環 の特別な場合である。
古典的な定義は：
局所コーエン・マコーレー環 R は既約イデアル を生成する極大イデアルにおいて極大R -正則列 が存在するときに Gorenstein と呼ばれる。[要出典
クルル次元 n のネーター 可換局所環
(
R
,
m
,
k
)
{\displaystyle (R,m,k)}
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
移入次元 が有限である。
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
n
{\displaystyle n}
i
≠ ≠ -->
n
{\displaystyle i\neq n}
Ext
R
i
-->
(
k
,
R
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0}
Ext
R
n
-->
(
k
,
R
)
{\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)}
k
{\displaystyle k}
ある
i
>
n
{\displaystyle i>n}
Ext
R
i
-->
(
k
,
R
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0}
すべての
i
<
n
{\displaystyle i<n}
Ext
R
i
-->
(
k
,
R
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0}
Ext
R
n
-->
(
k
,
R
)
{\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)}
k
{\displaystyle k}
R
{\displaystyle R}
n
{\displaystyle n}
（可換とは限らない）環 R は左 R -加群としても右 R -加群としても R の入射次元が有限なときに Gorenstein と呼ばれる。R が局所環であれば、R を局所 Gorenstein 環という。
環 k [x ,y ,z ]/(x 2 , y 2 , xz , yz , z 2 –xy ) は完交環でない0次元 Gorenstein 環である。 環 k [x ,y ]/(x 2 , y 2 , xy ) は Gorenstein 環でない0次元 Cohen–Macaulay 環である。
ネーター可換局所環が Gorenstein であることとその完備化 が Gorenstein であることは同値である[ 1]
次数付き Gorenstein 環 R の 正準加群 （英語版 ） R を何次かずらしたものに同型である。
Bass, Hyman (1963), “On the ubiquity of Gorenstein rings”, Mathematische Zeitschrift 82 : 8–28, doi :10.1007/BF01112819 , ISSN 0025-5874 , MR 0153708 Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993), Cohen-Macaulay rings 39 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-41068-7 , MR 1251956 , https://books.google.co.jp/books?id=LF6CbQk9uScC&redir_esc=y&hl=ja Gorenstein, D. (1952), “An arithmetic theory of adjoint plane curves” , Transactions of the American Mathematical Society 72 : 414–436, doi :10.2307/1990710 , ISSN 0002-9947 , MR 0049591 , http://www.jstor.org/stable/1990710 Grothendieck, Alexandre (1957), “Théorèmes de dualité pour les faisceaux algébriques cohérents” , Séminaire Bourbaki, Vol. 4 , Paris: Société Mathématique de France , pp. 169–193, MR 1610898 , http://www.numdam.org/item?id=SB_1956-1958__4__169_0 Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Gorenstein ring” , Encyclopedia of Mathematics ISBN 978-1-55608-010-4 , https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Gorenstein_ring Macaulay, F. S. (1934), “Modern algebra and polynomial ideals”, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 30 (1): 27–46, doi :10.1017/S0305004100012354 , ISSN 0305-0041 Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory , Cambridge studies in advanced mathematics 8.
Serre, Jean-Pierre (1961), Sur les modules projectifs 14 , pp. 1–16, http://www.numdam.org/item?id=SD_1960-1961__14_1_A2_0
