Test F

In statistica il test F per il confronto di due varianze è un test di ipotesi basato sulla distribuzione F di Fisher-Snedecor e volto a verificare l'ipotesi che due popolazioni che seguono entrambe distribuzioni normali abbiano la stessa varianza.

Procedimento

Se le popolazioni X e Y seguono rispettivamente le distribuzioni normali ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu _{X},\sigma _{X}^{2})}$ e ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu _{Y},\sigma _{Y}^{2})}$, allora

• i campioni ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ e ${\displaystyle Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{m}}$ si suppongono indipendenti, i primi isonomi a X e i secondi isonomi a Y;

• gli stimatori delle varianze osservate ${\displaystyle S_{X}^{2}}$ e ${\displaystyle S_{Y}^{2}}$ sono variabili aleatorie indipendenti;

• le variabili aleatorie ${\displaystyle {\tfrac {n-1}{\sigma _{X}^{2}}}S_{X}^{2}}$ e ${\displaystyle {\tfrac {m-1}{\sigma _{Y}^{2}}}S_{Y}^{2}}$ seguono rispettivamente le distribuzioni chi quadro ${\displaystyle \chi ^{2}(n-1)}$ e ${\displaystyle \chi ^{2}(m-1)}$;

• il rapporto ${\displaystyle F={\tfrac {\sigma _{Y}^{2}}{\sigma _{X}^{2}}}{\frac {S_{X}^{2}}{S_{Y}^{2}}}}$ segue la distribuzione di Fisher-Snedecor ${\displaystyle {\mathcal {F}}(n-1,m-1)}$.

Variabile di decisione

Sotto l'ipotesi ${\displaystyle H_{0}=(\sigma _{X}^{2}=\sigma _{Y}^{2})}$, ovvero se le due popolazioni hanno la stessa varianza, allora la variabile aleatoria

${\displaystyle F={\frac {S_{X}^{2}}{S_{Y}^{2}}}}$

segue la distribuzione di Fisher-Snedecor

${\displaystyle {\mathcal {F}}(n-1,m-1)}$

di parametri n-1 e m-1, dove n e m sono le numerosità dei due campioni.

La scelta del numeratore non influenza il test: sotto l'ipotesi nulla la variabile aleatoria ${\displaystyle 1/F}$ segue la distribuzione ${\displaystyle {\mathcal {F}}(m-1,n-1)}$.

Il test

Come regione di accettazione, al livello di significatività α, viene preso l'intervallo compreso tra i quantili di ordine ${\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}$ e ${\displaystyle 1-{\frac {\alpha }{2}}}$, mentre la regione di rifiuto è quella esclusa:

${\displaystyle {\mathcal {A}}=]f_{\frac {\alpha }{2}},f_{1-{\frac {\alpha }{2}}}[;\qquad {\mathcal {R}}=]0,f_{\frac {\alpha }{2}}[\ \cup \ ]f_{1-{\frac {\alpha }{2}}},\infty [}$

Un valore appartenente all'intervallo ${\displaystyle ]0,f_{\frac {\alpha }{2}}[}$ suggerisce che la varianza di X sia minore della varianza di Y, mentre un valore appartenente all'intervallo ${\displaystyle ]f_{1-{\frac {\alpha }{2}}},\infty [}$ suggerisce l'inverso.

Econometria

In molti casi la statistica F può essere calcolata con un processo più diretto:

${\displaystyle F={\frac {\left({\frac {{\mbox{SSR}}_{1}-{\mbox{SSR}}_{2}}{p_{2}-p_{1}}}\right)}{\left({\frac {{\mbox{SSR}}_{2}}{n-p_{2}}}\right)}}}$^[1]

dove SSR_i è la somma dei quadrati residui (dall'inglese Sum of Square Residuals) del modello i.

In econometria vale anche la seguente formula di moltiplicazioni tra matrici:

${\displaystyle F={\frac {(R{\hat {\beta }}-r)({\hat {RVar({\widehat {\beta }})R'}})^{-1}(R{\hat {\beta }}-r)}{q}}}$

dove:

• ${\displaystyle R}$ è la matrice dei vincoli;
• ${\displaystyle r}$ è il parametro d'eguagliaza;
• ${\displaystyle ({\hat {RVar({\widehat {\beta }})R'}})^{-1}}$ è l'inversa della matrice con le covarianze;
• ${\displaystyle q}$ è il numero dei vincoli di ${\displaystyle H_{0}}$.

Solitamente gli strumenti sono rilevanti se F ≥ 10

Una tavola dei valori critici del test F può essere trovata qui.

Applicazione alla comparazione di diverse statistiche ${\displaystyle \chi ^{2}}$

In analisi dei dati il test F viene comunemente usato per confrontare i risultati ottenuti con due diversi metodi e valutati con l'estimatore ${\displaystyle \chi ^{2}}$.^[2] Se si hanno due variabili ${\displaystyle \chi _{1}^{2}}$ e ${\displaystyle \chi _{2}^{2}}$ che seguono la distribuzione di ${\displaystyle \chi ^{2}}$ a ${\displaystyle \nu _{1}}$ e ${\displaystyle \nu _{2}}$ gradi di libertà rispettivamente, si può costruire la variabile ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle f={\frac {\chi _{1}^{2}/\nu _{1}}{\chi _{2}^{2}/\nu _{2}}}}$

che sarà distribuita secondo la Distribuzione F:

${\displaystyle p(f;\nu _{1},\nu _{2})={\frac {\Gamma [(\nu _{1}+\nu _{2})/2]}{\Gamma [\nu _{1}/2]\Gamma [\nu _{2}/2]}}\left({\frac {\nu _{1}}{\nu _{2}}}\right)^{\nu _{1}/2}{\frac {f^{1/2(\nu _{1}-2)}}{(1+f\nu _{1}/\nu _{2})^{1/2(\nu _{1}+\nu _{2})}}}\quad }$.

Per capire se ${\displaystyle \chi _{1}^{2}}$ e ${\displaystyle \chi _{2}^{2}}$ siano consistenti si usa, quindi, l'integrale della distribuzione di probabilità per ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle P_{f}({f^{0};\nu _{1},\nu _{2}})=\int _{f^{0}}^{\infty }p(f,\nu _{1},\nu _{2})df}$

dove ${\displaystyle f^{0}}$ è il particolare valore di ${\displaystyle f}$ ottenuto.

Il valore di ${\displaystyle P_{f}}$ fornisce la probabilità di trovare un valore di ${\displaystyle f}$ pari a ${\displaystyle f^{0}}$ o più alto da dati casuali se ${\displaystyle \chi _{1}^{2}}$ e ${\displaystyle \chi _{2}^{2}}$ sono in accordo.

Tipicamente il test F usato per i ${\displaystyle \chi ^{2}}$ confronta due fit applicati agli stessi dati per capire se uno è migliore dell'altro. Se il valore di ${\displaystyle P_{f}}$ è minore del livello di confidenza scelto (ad es. 5%), si ha una significativa differenza nella bontà dei due fit.

Note

1. GraphPad Software Inc, How the F test works to compare models, su graphpad.com, GraphPad Software Inc, 2007/10/11.
2. Bevington, P.R. Robinson, D. K. - Data reduction and error analysis for physical sciences , Mc Graw Hill

Collegamenti esterni

• (EN) F-test, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.