Teorema di Weyl (algebra lineare)

In algebra lineare, il teorema di Weyl, anche detto disuguaglianza di Weyl o teorema di monotonicità di Weyl, caratterizza gli autovalori della matrice somma di due matrici hermitiane.

Enunciato

Siano ${\displaystyle \mathrm {A} }$ e ${\displaystyle \mathrm {B} }$ due matrici hermitiane ${\displaystyle n\times n}$ con autovalori ${\displaystyle \lambda _{1}\leq ...\leq \lambda _{n}}$ e ${\displaystyle \mu _{1}\leq ...\leq \mu _{n}}$ rispettivamente. Siano ${\displaystyle \gamma _{1}\leq \dots \leq \gamma _{n}}$ gli autovalori della matrice ${\displaystyle \mathrm {A} +\mathrm {B} }$, si ha:

${\displaystyle \lambda _{j}+\mu _{k-j+1}\leq \gamma _{k}\leq \lambda _{i}+\mu _{n-i+k}\qquad \forall k\leq n}$

per ${\displaystyle 1\leq j\leq k\leq i\leq n}$.

Dimostrazione

Si considerino le seguenti diagonalizzazioni:

${\displaystyle \mathrm {A} =\mathrm {U\Lambda U} ^{H}\qquad \mathrm {B} =\mathrm {VMV} ^{H}\qquad \mathrm {A} +\mathrm {B} =\mathrm {W\Gamma W} ^{H}}$

dove ${\displaystyle \mathrm {U} }$, ${\displaystyle \mathrm {V} }$ e ${\displaystyle \mathrm {W} }$ sono unitarie. Dette ${\displaystyle \mathbf {u} _{i}}$, ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ e ${\displaystyle \mathbf {w} _{i}}$ le colonne di ${\displaystyle \mathrm {U} }$, ${\displaystyle \mathrm {V} }$ e ${\displaystyle \mathrm {W} }$, si considerino gli spazi:

${\displaystyle {\mathcal {U}}=\langle \mathbf {u} _{j},\dots ,\mathbf {u} _{n}\rangle }$

${\displaystyle {\mathcal {V}}=\langle \mathbf {v} _{k-j+1},\dots ,\mathbf {v} _{n}\rangle }$

${\displaystyle {\mathcal {W}}=\langle \mathbf {w} _{1},\dots ,\mathbf {w} _{k}\rangle }$

con ${\displaystyle j\leq k\leq i}$ fissati. Applicando la formula delle dimensioni si ottiene:

${\displaystyle \dim \left({\mathcal {U}}\cap {\mathcal {V}}\cap {\mathcal {W}}\right)=1}$

Allora esiste un vettore ${\displaystyle \mathbf {z} \in {\mathcal {U}}\cap {\mathcal {V}}\cap {\mathcal {W}}}$ di norma euclidea:

${\displaystyle \left\|\mathbf {z} \right\|_{2}=1\qquad \mathbf {z} \in \mathrm {U} }$

perciò:

${\displaystyle \mathbf {z} =\alpha _{j}\mathbf {u} _{j}+\dots +\alpha _{n}\mathbf {u} _{n}}$

con ${\displaystyle \alpha _{i}\in \mathbb {C} }$. Inoltre dato che ${\displaystyle \mathrm {U} }$ è unitaria e che ${\displaystyle \left\|\mathbf {z} \right\|_{2}=1}$:

${\displaystyle \mathbf {z} ^{H}\mathrm {Az} \geq \lambda _{j}}$

usando la diagonalizzazione unitaria di ${\displaystyle \mathrm {A} }$. Con lo stesso ragionamento:

${\displaystyle \mathbf {z} ^{H}\mathrm {Bz} \geq \mu _{k-j+1}}$, ${\displaystyle \mathbf {z} ^{H}\mathrm {(A} +\mathrm {B)z} =\gamma _{k}}$

Da queste ultime tre disuguaglianze si ricava la prima disuguaglianza del teorema:

${\displaystyle \gamma _{k}\geq \mathbf {z} ^{H}\mathrm {(A} +\mathrm {B)} \mathbf {z} =\mathbf {z} ^{H}\mathrm {A} \mathbf {z} +\mathbf {z} ^{H}\mathrm {B} \mathbf {z} \geq \lambda _{j}+\mu _{k-j+1}}$

Per la seconda disuguaglianza del teorema si procede in modo analogo.

Bibliografia

• (EN) Matrix Theory, Joel N. Franklin, (Dover Publications, 1993) ISBN 0-486-41179-6

Voci correlate

• Autovettore e autovalore
• Matrice hermitiana

Collegamenti esterni

• (EN) Weyl's inequality, in PlanetMath.
• (EN) proof of Weyl’s inequality, in PlanetMath.