Teorema di Green-Tao

In matematica, il teorema di Green–Tao, provato da Ben Green e Terence Tao nel 2004,^[1] afferma che la successione dei numeri primi contiene progressioni aritmetiche arbitrariamente lunghe. In altre parole esiste una progressione di numeri primi, con k termini, dove k può essere qualsiasi numero naturale. La dimostrazione consiste in un'estensione del teorema di Szemerédi.

Nel 2006, Tao e Tamar Ziegler hanno esteso il risultato alle progressioni polinomiali.^[2] Più precisamente, hanno provato che, per ogni intero positivo k, dati k polinomi in un'incognita P₁,..., P_k a valori interi e con termine noto nullo, esistono infiniti interi a e b tali che a + P₁(b), ..., a + P_k(b) siano contemporaneamente primi. Il teorema di Green-Tao si può dedurre da questo risultato come caso particolare, in quanto applicando questo teorema ai polinomi P_j(x) = (j - 1)·x si ottiene proprio che la successione dei numeri primi contiene progressioni aritmetiche arbitrariamente lunghe.

Questi risultati sono solo teoremi di esistenza e non mostrano come calcolare le progressioni.

Nel 2007 Jaroslaw Wróblewski ha trovato il primo caso di 24 primi in progressione aritmetica:^[3]

468395662504823 + 205619 · 23# · n, per n = 0, ..., 23

in cui il simbolo # denota il primoriale (23# = 223092870).

Nel 2008 Wróblewski e Raanan Chermoni hanno trovato il primo caso noto di 25 primi in progressione aritmetica:

6171054912832631 + 366384 · 23# · n, per n = 0, ..., 24.

Nel 2010 Benoãt Perichon, con software di Wróblewski e Geoff Reynolds in un progetto distribuito PrimeGrid, ha trovato la prima progressione aritmetica di 26 primi:

43142746595714191 + 23681770 · 23# · n, per n = 0, ..., 25.

Nel 2019 Rob Gahan and PrimeGrid hanno scoperto la prima progressione aritmetica di 27 primi:

224584605939537911 + 81292139 · 23# · n, per n = 0, ..., 26.

Note

1. Ben Green e Terence Tao, The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions (PDF), in Annals of Mathematics, vol. 167, 2008, pp. 481-547. URL consultato il 27 marzo 2017.
2. Terence Tao e Tamar Ziegler, The primes contain arbitrarily long polynomial progressions (PDF) ^{[collegamento interrotto]}, in Acta Mathematica, vol. 201, 2008, pp. 213-305. URL consultato il 26 aprile 2009.
3. Jens Kruse Andersen, Primes in Arithmetic Progression Records.

Voci correlate

• Teorema di Dirichlet
• Teoria dei numeri additiva

Collegamenti esterni

• Articolo di MathWorld sulla dimostrazione del teorema, su mathworld.wolfram.com.