Tensore di Bach

In geometria differenziale e in relatività generale, il tensore di Bach è un tensore a traccia nulla di rango 2 che è conformemente invariante in dimensione n = 4 ^[1]. Prima del 1968, era l'unico tensore conformemente invariante conosciuto che fosse algebricamente indipendente dal tensore di Weyl^[2]. Nella notazione degli indici astratti il tensore di Bach è dato da

${\displaystyle B_{ab}=P_{cd}{{{W_{a}}^{c}}_{b}}^{d}+\nabla ^{c}\nabla _{c}P_{ab}-\nabla ^{c}\nabla _{a}P_{bc}}$

Dove ${\displaystyle W}$ è il tensore di Weyl, e ${\displaystyle P}$ il tensore di Schouten espresso in termini del tensore di Ricci ${\displaystyle R_{ab}}$ e curvatura scalare ${\displaystyle R}$ nel modo seguente

${\displaystyle P_{ab}={\frac {1}{n-2}}\left(R_{ab}-{\frac {R}{2(n-1)}}g_{ab}\right).}$

Note

1. (DE) Rudolf Bach, Zur Weylschen Relativitätstheorie und der Weylschen Erweiterung des Krümmungstensorbegriffs, in Mathematische Zeitschrift, vol. 9, 1921, pp. 110–135.
2. (EN) P. Szekeres, Conformal Tensors, in Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, vol. 304, n. 1476, 1968, pp. 113–122.

Voci correlate

• Tensore di curvatura di Ricci
• Tensore di Schouten