Successione numerica

In matematica, una successione numerica è una successione i cui termini sono solo numeri (non esiste una categoria designata di numeri, sono compresi sia i numeri naturali sia i numeri complessi). È in altre parole una funzione, definita solo sui numeri naturali (${\displaystyle \mathbb {N} }$) oppure su un sottoinsieme di ${\displaystyle \mathbb {N} }$, per la quale è possibile calcolare il suo valore limite al divergere della variabile a ${\displaystyle +\infty }$. Se il risultato di tale limite è un numero finito la successione sarà convergente, se il suo risultato è ${\displaystyle \pm \infty }$ la successione sarà divergente, se il limite non esiste la successione sarà indeterminata.

Determinate successioni numeriche possono essere riassunte in una funzione generatrice che permette il calcolo di qualsiasi n-esimo termine della serie; per esempio:

${\displaystyle a_{n}=2n-1}$

per ${\displaystyle n=1,2,...}$ è la formula generatrice dei numeri dispari.

Rappresentazione

Il grafico della successione numerica dei numeri dispari.

Anche le successioni possono essere rappresentate sul piano cartesiano, sull'asse delle ascisse vengono riportati i valori di n, su quella delle ordinate invece gli a_n. Il grafico è quindi costituito da una serie di punti isolati: in figura è riportato l'esempio della successione naturale dei numeri dispari: ${\displaystyle a_{n}=2n-1}$.

Proprietà

Le successioni numeriche possono avere andamenti molto diversi tra loro. In base al segno dei suoi termini una successione si dice:

• ovunque positiva (o positiva), se per ogni n l'immagine assume solo valori positivi, ovvero il grafico è sempre sopra l'asse delle ascisse. Matematicamente si scrive:

${\displaystyle a_{n}>0\qquad \forall \,n}$

specularmente si può definire una successione ovunque negativa

• asintoticamente (o definitivamente) positiva (negativa) quando da un certo termine in poi, n*, i successivi sono sempre positivi, ovvero il grafico da un punto in poi non scende mai sotto l'asse delle ascisse. Matematicamente si scrive:

${\displaystyle a_{n}>0\qquad \forall \,n>n^{*}}$

specularmente si può definire una successione asintoticamente negativa.

Successioni limitate

Una successione a valori reali ${\displaystyle {a_{n}}\quad }$ si dirà:

• limitata inferiormente se esiste un numero m tale che ${\displaystyle a_{n}\geq m,\ \forall n\in \mathbb {N} }$
• limitata superiormente se esiste un numero M tale che ${\displaystyle a_{n}\leq M,\ \forall n\in \mathbb {N} }$
• limitata se esiste un numero M tale che ${\displaystyle |a_{n}|\leq M,\ \forall n\in \mathbb {N} }$

Una successione a valori in uno spazio metrico è limitata se tutti i suoi valori sono inclusi in una palla.

Successioni monotòne

Successioni che presentano una regolarità nell'evoluzione della serie di termini, ovvero il successivo è sempre maggiore (minore) del precedente oppure uguale, vengono dette monotòne.

Se la regolarità è presente in tutta la successione, ovvero ogni termine è sempre maggiore o minore del precedente,

${\displaystyle a_{n+1}>a_{n}\quad {\mbox{o}}\quad a_{n+1}<a_{n}\qquad \ \forall \,n}$

la successione è detta "crescente" oppure "decrescente".
Quando, invece, il termine può essere anche uguale

${\displaystyle a_{n+1}\geqslant a_{n}\quad {\mbox{o}}\quad a_{n+1}\leqslant a_{n}\qquad \ \forall \,n}$

la successione è detta "non decrescente" oppure "non crescente".

Se la successione, invece, inizia ad essere regolarmente crescente (o decrescente) soltanto da un certo termine n* in poi

${\displaystyle a_{n+1}>a_{n}\quad {\mbox{o}}\quad a_{n+1}<a_{n}\qquad \ \forall \,n>n^{*}}$

si dice che dal punto n* è definitivamente crescente o decrescente.

Esistono infine le successioni costanti,

${\displaystyle a_{n+1}=a_{n}\qquad \forall \,n}$

per cui valgono contemporaneamente la proprietà di essere non crescenti e non decrescenti; esempi possono essere le successioni:

${\displaystyle a_{n}=5\quad {\mbox{oppure}}\quad a_{n}=1^{n}}$

Teorema sulle successioni monotòne

Ogni successione monotòna è regolare, cioè ammette limite. In particolare, ogni successione monotòna e limitata è convergente, cioè ammette limite finito.

Dimostrazione: Sia ${\displaystyle a_{n}\quad }$ una successione crescente e limitata, con

${\displaystyle l=\sup _{n}\{a_{n}\}}$. Per le note proprietà dell'estremo superiore, fissato un ${\displaystyle \varepsilon >0\quad }$ esiste un indice ${\displaystyle v\quad }$ tale che ${\displaystyle l-\varepsilon <a_{v}\quad }$. Ricordando che la crescenza della successione impone

${\displaystyle a_{n}\geqslant a_{v}\qquad \ \forall \,n>v}$, risulta

${\displaystyle l-\varepsilon <a_{v}\leqslant a_{n}\leqslant l<l+\varepsilon }$.

Cioè, per definizione di limite di una successione, risulta:

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }a_{n}=l}$

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