Spazio di stato

Lo spazio di stato (o spazio degli stati) è l'insieme di tutte le possibili configurazioni di un sistema fisico.[1] Ci sono diversi tipi di spazi degli stati: in meccanica classica si usano lo spazio delle configurazioni e lo spazio delle fasi, mentre in meccanica quantistica lo spazio degli stati è rappresentato da uno spazio di Hilbert complesso.

Spazio delle configurazioni

Dato un sistema dinamico con gradi di libertà, lo spazio vettoriale generato dalle coordinate generalizzate è detto spazio delle configurazioni, all'interno del quale sono determinate univocamente tutte le posizioni (ma non le velocità) di un sistema di punti. In meccanica razionale, per spazio delle configurazioni si intende solitamente una varietà differenziabile nello spazio delle coordinate generalizzate, detta varietà delle configurazioni.

Spazio delle fasi

Si chiama spazio delle fasi di un sistema con gradi di libertà lo spazio i cui punti rappresentano univocamente tutti e soli i possibili stati del sistema. Dunque esso è la rappresentazione grafica dello spazio di stato e ha dimensione pari a . Generalmente in meccanica razionale lo spazio degli stati è una varietà differenziabile che ha come dimensione due volte il numero di gradi di libertà del sistema; inoltre, può essere definito come il fibrato cotangente dello spazio delle configurazioni. Nello spazio delle fasi l'evoluzione di un sistema dinamico discreto appare come una successione di punti, mentre quella di un sistema dinamico continuo può essere rappresentata da una curva.

La scelta delle coordinate[2] per generare lo spazio delle fasi risulta cruciale nella caratterizzazione del sistema, in particolare di alcune sue grandezze fondamentali, come ad esempio l'energia, e delle sue equazioni del moto.

Esempi

  • In meccanica lagrangiana lo spazio degli stati è definito come lo spazio delle coordinate lagrangiane, ovvero le coppie , dove le sono le velocità coniugate alle coordinate generalizzate . La funzione che caratterizza la dinamica del sistema è la Lagrangiana:
Le equazioni del moto, ottenute a partire dal principio di minima azione, sono le equazioni di Eulero-Lagrange:
Le equazioni del moto si ricavano riscrivendo le equazioni di Eulero-Lagrange con le nuove coordinate, in forma di equazioni di Hamilton:
  • Le formulazioni lagrangiana e hamiltoniana non sono le uniche possibili: Edward John Routh propose un approccio ibrido tra le due formulazioni tradizionali della meccanica razionale. Dato un sistema meccanico con gradi di libertà, il cui spazio delle configurazioni è generato dalle coordinate generalizzate dove alle sono associati i rispettivi momenti coniugati , mentre alle vengono associate le rispettive velocità generalizzate .[3][4] Pertanto, lo spazio delle fasi in esame avrà come generatori le coordinate routhiane le quali permettono la definizione della funzione routhiana come la trasformata di Legendre della Lagrangiana, in modo del tutto analogo a quanto avviene per l'Hamiltoniana in coordinate hamiltoniane:
Essendo le coordinate routhiane un insieme di coordinate canoniche, consentono alle equazioni di Hamilton di conservare la loro forma, ma, al contempo, per esse valgono anche le equazioni di Eulero-Lagrange:
In generale, l'utilizzo delle coordinate routhiane risulta particolarmente vantaggioso per sistemi dove compaiono coordinate cicliche.

Nella meccanica classica lo spazio delle fasi di solito rappresenta tutte le possibili posizioni, velocità e quantità di moto di ogni punto materiale. Ad esempio, lo spazio degli stati di un pendolo semplice con massa è un cilindro: c'è un grado di libertà per la variabile angolare che individua la posizione e che si muove su un cerchio e un grado di libertà per la velocità e la quantità di moto, che a priori possono variare lungo una retta illimitata.

Note

  1. ^ State space definition, su mathinsight.org.
  2. ^ Va ricordato che le coordinate generalizzate sono funzione del tempo, pertanto le funzioni dipendenti da esse hanno sempre una dipendenza temporale implicita. Se queste funzioni variano rispetto al tempo indipendentemente dalle coordinate generalizzate, si parla di dipendenza temporale esplicita.
  3. ^ Goldstein, pag. 352.
  4. ^ Landau e Lifšic, pag. 134.

Bibliografia

  Portale Fisica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di fisica

Read other articles:

Pour les articles homonymes, voir One of the Boys. One of the Boys Album de Katy Perry Sortie 17 juin 2008 Enregistré 3 septembre 2007–28 mars 2008 Durée 44:01 Genre Pop rock[1], pop[2], power pop[1] Producteur Greg Wells, Dr. Luke, Glen Ballard, David A. Stewart, Katy Perry, Butch Walker, Sam Hollander, Dave Katz Label Capitol Records, EMI, Virgin Albums de Katy Perry Katy Hudson(2001) Teenage Dream(2010)Singles Ur So GaySortie : 3 avril 2008 I Kissed a GirlSortie : 2...

 

حرب مودوك جزء من الحروب الهندية الأمريكية    التاريخ وسيط property غير متوفر. بداية 6 يوليو 1872  نهاية 4 يونيو 1873  الموقع كاليفورنيا  تعديل مصدري - تعديل   حرب مودوك، أو حملة مودوك (بالإنجليزية:Modoc War) كان نزاعا مسلحا بين شعب مودوك (الهنود الأمريكيين) والجيش الأمريكي

 

Gemeinde Muruzábal Panorama von Muruzabal Wappen Karte von Spanien Muruzábal (Spanien) Basisdaten Land: Spanien Spanien Autonome Gemeinschaft: Navarra Navarra Provinz: Navarra Comarca: Izarbeibar-Novenera Gerichtsbezirk: Pamplona Koordinaten 42° 41′ N, 1° 47′ W42.689444444444-1.7805555555556444Koordinaten: 42° 41′ N, 1° 47′ W Höhe: 444 msnm Fläche: 5,94 km² Einwohner: 261 (1. Jan. 2022)[1] Bevölkerungsdichte...

River in KazakhstanBukhtarmaThe Bukhtarma in East-Kazakhstan RegionLocationCountryKazakhstanPhysical characteristicsMouthIrtysh • coordinates49°44′26″N 83°59′25″E / 49.7406°N 83.9903°E / 49.7406; 83.9903Length336 km (209 mi)Basin size12,660 km2 (4,890 sq mi)Basin featuresProgressionIrtysh→ Ob→ Kara Sea The Bukhtarma (Kazakh: Бұқтырма, romanized: Būqtyrma, بۇقتىرما, pronounced [...

 

United States Marine Corps general Ronald L. BaileyAllegiance United States of AmericaService/branch United States Marine CorpsYears of service1977– 2017RankLieutenant GeneralCommands held2nd Light Armored Reconnaissance Battalion 2nd Marine Regiment 3rd Marine Expeditionary Brigade 1st Marine Division Marine Corps Recruiting Command[1][2]AwardsDefense Superior Service Medal (2) Ronald L. Bailey is a retired lieutenant general in the United States Marine Corps. He was t...

 

Chapitres tournés en tous sens Genre Suite de pièces pour piano Nb. de mouvements 3 Musique Erik Satie Durée approximative ca. 5 min Dates de composition 1913 Création 14 janvier 1914Société musicale indépendante,Paris France Interprètes Ricardo Viñes modifier  Chapitres tournés en tous sens est un recueil de trois pièces pour piano d'Erik Satie, composé en 1913. Présentation Chapitres tournés en tous sens est composé par Satie en août et septembre 1913[1]. « T...

2015 studio album by Barenaked LadiesSilverballStudio album by Barenaked LadiesReleased2 June 2015RecordedDecember 2014–February 2015[1]GenreAlternative rockLength45:10LabelVanguard RecordsProducerGavin BrownBarenaked Ladies chronology The Long Weekend EP(2014) Silverball(2015) BNL Rocks Red Rocks(2016) Singles from Silverball Say What You WantReleased: 28 April 2015 SilverballReleased: 4 May 2015 Duct Tape HeartReleased: 10 July 2015 Silverball is the 11th full-length origi...

 

1856 painting by John Everet Millais Peace Concluded, 1856ArtistJohn Everett MillaisYear1856MediumOil on canvasDimensions120 cm × 91 cm (46 in × 36 in)LocationMinneapolis Institute of Arts, Minneapolis Peace Concluded, 1856 (1856) is a painting by John Everett Millais which depicts a wounded British officer reading The Times newspaper's report of the end of the Crimean War. It was exhibited at the Royal Academy in 1856 to mixed reviews, but was stro...

 

1670 battle between Maratha and Mughal forces Battle of Sinhagad (Kondhana)Part of Imperial Maratha ConquestsThe Fort of SinhagadDate4 February 1670LocationFort Sinhagad, near Pune, IndiaResult Maratha victoryTerritorialchanges Fort Sinhagad captured by MarathasBelligerents Maratha Empire Mughal EmpireCommanders and leaders Tanaji Malusare  †Suryaji Malusare Shelar Mama Udaybhan Rathore  † vteMughal–Maratha Wars Ahmednagar Chakan Surat Purandar Sinhagad Salher 1st Shiv...

هذه مقالة غير مراجعة. ينبغي أن يزال هذا القالب بعد أن يراجعها محرر مغاير للذي أنشأها؛ إذا لزم الأمر فيجب أن توسم المقالة بقوالب الصيانة المناسبة. يمكن أيضاً تقديم طلب لمراجعة المقالة في الصفحة المخصصة لذلك. (مايو 2020) التسلسل الزمني لجائحة كورونا 2019-2020 من نوفمبر إلى ديسمبرمع...

 

Ứng LongHình minh họa Ứng Long trong Sơn hải kinhTên tiếng TrungPhồn thể應龍Giản thể应龙Nghĩa đenRồng ứng phó nhanhPhiên âmTiếng Hán tiêu chuẩnBính âm Hán ngữYìnglóngTên tiếng NhậtKanji応竜応龍HiraganaおうりゅうChuyển tựRōmajiŌryū Ứng Long (giản thể: 应龙; phồn thể: 應龍; bính âm: yìnglóng; Wade–Giles: ying-lung là một nhân vật truyền thuyết trong thời kì chiến tran...

 

Catholic university in Dubuque, Iowa, US Not to be confused with Clark University. Clarke UniversityFormer namesSt. Mary's Female Academy (1843–1881)Mount St. Joseph Academy and College (1881–1928)Clarke College (1928–2010)TypePrivate universityEstablished1843; 180 years ago (1843)Religious affiliationRoman CatholicEndowment$29.9 million (2020)[1]PresidentFletcher M. Lamkin, Ph.D (Interim)Academic staff148Administrative staff173Students1200LocationDubuque, Iowa...

Verbotene Liebe Serie de televisión Género Serial televisivoCreado por Reg WatsonProtagonistas Ver elencoTema principal Forbidden LovePaís de origen Alemania AlemaniaIdioma(s) original(es) AlemánN.º de temporadas 20N.º de episodios 4664ProducciónProductor(es) ejecutivo(s) Elke KimmlingerProductor(es) Rainer WemckenGuido ReinhardtDuración 25 minutos(2 de enero de 1995 hasta el 20 de junio de 2011)45 minutos(21 de junio de 2011 hasta el 18 de enero de 2012, 13 de mayo de 2013 hasta...

 

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (أكتوبر 2021) معركة الضالع جزء من ثورة 14 أكتوبر معلومات عامة التاريخ 20 مارس 1965 الموقع الضالع المتحاربون  المملكة المتحدة الجبهة القومية للتحرير جبهة تحرير جنوب اليمن ...

 

American thriller novel This article does not cite any sources. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: The Desperate Hours Hayes novel – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (December 2009) (Learn how and when to remove this template message) First edition (Random House, 1954) The Desperate Hours is a thriller novel written by Joseph Hayes in 1...

Howick Stadtteil von Manukau City Geographische Lage Howick (Neuseeland) Koordinaten 36° 58′ S, 174° 48′ O-36.966666666667174.8044444444460Koordinaten: 36° 58′ S, 174° 48′ O Region-ISO NZ-AUK Land Neuseeland Region Auckland Distrikt Auckland Council Ward Howick Ward Einwohner 14 085 (2013[1]) Höhe 60 m Postleitzahl 2014 Telefonvorwahl +64 0(9) Fotografie des Stadtteils Picton Street, die Hauptstraße von Howick Anmerkungen Ma...

 

شركة الهند لتأمين الحياةمكتب الشركة ، منظر ليلي من كونوت بليس باركمعلومات عامةالجنسية الهند التأسيس 1956 النوع عمل تجاري — شركة عمومية محدودة الشكل القانوني مؤسسات مملوكة للدولة — شركة عمومية محدودة المقر الرئيسي مومباي مواقع الويب licindia.com (الإنجليزية، ‏الهندية)liciuk.com (ال...

 

City in West Virginia, United StatesKeyser, West Virginia The Irish Settlement (c.1752) Paddy Town (c.1752-1855) Wind Lea (1855-c.1860) New Creek (c.1860-1874)CityDowntown Keyser in January 2014Location of Keyser in Mineral County, West Virginia.Coordinates: 39°26′20″N 78°58′58″W / 39.43889°N 78.98278°W / 39.43889; -78.98278CountryUnited StatesStateWest VirginiaCountyMineralIncorporated/Chartered1874/1913Government • TypeMayor-council government...

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: A Trilogia das Barcas – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (June 2020) (Learn how and when to remove this template message) Frontispiece of the Auto da Moralidade, or Gil Vicente's Auto da Barca do Inferno. A Trilogia das Barcas (The Trilogy of the Fer...

 

William the Conqueror's flagship The Bayeux Tapestry's depiction of the Norman invasion fleet, with the Mora in front (rightmost), marked by the papal banner on the masthead. Mora was the name of William the Conqueror's flagship, the largest and fastest ship in his invasion fleet of 700 or more ships[a] used during the Norman conquest of England in 1066. The ship Mora was a ship of Drakkar design and clinker construction built at Barfleur in Normandy,[1] a gift of Matilda of F...

 

Strategi Solo vs Squad di Free Fire: Cara Menang Mudah!