Semispazio di Poincaré

Tassellatura eptagonale del modello.

Il semispazio di Poincaré è un modello di geometria iperbolica, descritto dal matematico francese Jules Henri Poincaré. Un altro modello con caratteristiche simili è il disco di Poincaré.

Definizione

Il semispazio di Poincaré è il semispazio ${\displaystyle n}$-dimensionale

${\displaystyle H^{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ x_{n}>0\}}$

dotato del tensore metrico

${\displaystyle ds^{2}={\frac {\sum _{i}dx_{i}^{2}}{x_{n}^{2}}}.}$

In altre parole, il tensore metrico nel punto ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ è

${\displaystyle g_{ij}={\frac {1}{x_{n}^{2}}}\delta _{ij}}$

dove ${\displaystyle \delta }$ è la delta di Kronecker. Cioè

${\displaystyle g={\frac {1}{x_{n}^{2}}}I}$

dove ${\displaystyle I}$ è la matrice identità ${\displaystyle n}$-dimensionale. Si tratta quindi dell'usuale tensore metrico euclideo, riscalato di un fattore positivo

${\displaystyle {\frac {1}{x_{n}^{2}}}}$

che dipende dal punto, e che tende a infinito se il punto si avvicina all'iperpiano ${\displaystyle x_{n}=0}$.

Proprietà

Il tensore metrico è definito positivo in ogni punto: il semispazio di Poincaré è quindi una varietà riemanniana di dimensione ${\displaystyle n}$. Su una varietà riemanniana sono quindi definiti i concetti di distanza, geodetica e angolo. Attraverso una opportuna inversione circolare si può costruire facilmente un isomorfismo tra questo modello e il disco di Poincaré.

Voci correlate

• Spazio iperbolico
• Disco di Poincaré

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Collegamenti esterni

• (EN) Poincaré upper half-plane model, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.