Regola della funzione inversa

In analisi matematica, la regola della funzione inversa è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata della funzione inversa di una funzione derivabile, quando essa esiste, anche senza conoscerne l'equazione.

Definizione

Se definita, la derivata della funzione inversa è il reciproco della derivata della funzione calcolata nella controimmagine del punto. Più precisamente, se ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$ è una funzione invertibile, se ${\displaystyle x_{0}\in {\rm {Int}}(D)}$, se ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ è continua nel punto ${\displaystyle y_{0}}$ e se esiste ${\displaystyle f'(x_{0})\neq 0}$, allora ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ è derivabile in ${\displaystyle y_{0}=f(x_{0})}$ e vale:

${\displaystyle D[f^{-1}](y_{0})={1 \over f'(x_{0})},}$

dove ${\displaystyle D[f^{-1}]}$ e ${\displaystyle f'}$ sono notazioni che indicano la derivata e ${\displaystyle {\rm {Int}}(D)}$ indica la parte interna di ${\displaystyle D.}$

Per l'esistenza della funzione inversa è sufficiente che la funzione sia strettamente monotona nel suo dominio. Per la continuità della funzione inversa è sufficiente supporre che la funzione sia strettamente monotona su un intervallo.

La richiesta ${\displaystyle f'(x_{0})\neq 0}$ è necessaria per garantire che l'espressione sia ben definita. Basti pensare, ad esempio, alla funzione ${\displaystyle f(x)=x^{3}.}$ La funzione è monotona strettamente crescente, ma la sua inversa non è derivabile in ${\displaystyle x_{0}=0.}$

Anche la richiesta che ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ sia continua nel punto ${\displaystyle y_{0}}$ è necessaria. È infatti possibile (ma la costruzione non è semplicissima) costruire un esempio di una funzione ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ invertibile e con derivata in ${\displaystyle 0}$ uguale a ${\displaystyle 1}$, la cui inversa nel punto ${\displaystyle f(0)}$ non è continua (e quindi neppure derivabile).

Dimostrazione

Poniamo ${\displaystyle y=f(x)}$ e rispettivamente ${\displaystyle y_{0}=f(x_{0})}$ per semplicità. Allora:

${\displaystyle D[f^{-1}](y_{0})=\lim _{y\to y_{0}}{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_{0}) \over y-y_{0}}}$

${\displaystyle D[f^{-1}](y_{0})=\lim _{x\to x_{0}}{x-x_{0} \over f(x)-f(x_{0})}}$

${\displaystyle D[f^{-1}](y_{0})={1 \over f'(x_{0})}={1 \over f'(f^{-1}(y_{0}))}.}$

Esempio

Sia ${\displaystyle f(x)=\tan(x)}$, con ${\displaystyle |x|<{\pi \over 2}}$. Dunque ${\displaystyle f^{-1}(y)=\arctan(y)}$ e ${\displaystyle D[\arctan(y)]={1 \over D[\tan(x)]}={1 \over 1+(\tan x)^{2}}={1 \over 1+y^{2}}}$.

Voci correlate

• Regole di derivazione