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In matematica, la regola del tre è un procedimento per risolvere problemi di proporzionalità senza dovere usare equazioni, e quindi alla portata dei ragazzi della scuola secondaria di primo grado. Il procedimento è antichissimo: già il papiro di Rhind contiene la risoluzione di problemi con un procedimento essenzialmente uguale alla regola del tre.^[1]

Nella regola del tre semplice le grandezze in gioco sono due: per esempio, si può chiedere quanti metri di muro sono costruiti da un muratore in 15 ore, se sappiamo che in 6 ore ne costruisce 4 metri. In questo caso le grandezze sono il numero di metri di muro costruito e il tempo di lavoro. Nella regola del tre composto le grandezze in gioco sono più di due.

Regola del tre semplice

Nella regola del tre semplice diretta, si ha una proporzionalità diretta tra le due grandezze; al raddoppiare della prima, quindi, anche la seconda si raddoppia. Per applicare la regola, si trasforma la grandezza di cui sappiamo il valore finale a 1, dividendo l'altra grandezza per il valore della prima; quindi si porta quella grandezza al valore finale, moltiplicando contestualmente per lo stesso valore l'altra grandezza. Nella tabella seguente si può vedere la regola applicata al problema precedente.

Ore lavorate	Metri costruiti
6	4
6:6 = 1	4:6 = 2/3
1×15 = 15	(2/3) ×15 = 10

Il muratore costruirà quindi 10 metri di muro in 15 ore.

Nella regola del tre semplice inversa si ha invece una proporzionalità inversa tra le due grandezze; al raddoppiare della prima, quindi, la seconda si dimezza. Il procedimento è simile a quello impiegato nella proporzionalità diretta, con l'importante modifica che ogni volta che si moltiplica il valore della prima grandezza la seconda deve essere divisa per quel valore anziche moltiplicata, e viceversa. Come esempio di risoluzione, si può risolvere questo problema. Sei bambini si sono divisi le caramelle di una scatola e ciascuno di loro ne ha avute quattordici. È poi arrivato un settimo bambino, e tutti insieme hanno deciso di dividere le caramelle tra tutti loro. Quante ne avrà ciascuno? La proporzionalità è inversa, e quindi si applica la regola del tre semplice inversa.

Bambini	Caramelle per bambino
6	14
6:6 = 1	14×6 = 84
1×7 = 7	84:7 = 12

I bambini avranno dunque 12 caramelle a testa.

Regola del tre composto

Per applicare la regola del tre composto, si applica tante volte quanto serve la regola del tre semplice a due delle quantità lasciando le altre intatte; occorre controllare di volta in volta se si deve applicare la regola diretta o inversa. Per esempio, si prenda il classico indovinello Se un gatto e mezzo mangia un topo e mezzo in un minuto e mezzo, quanti gatti servono per mangiare sessanta topi in mezz'ora?. In questo caso la proporzionalità tra numero di gatti e tempo per mangiare i topi è inversa, mentre quella tra numero di gatti e numero di topi è diretta. Applicando la regola del tre composto, i passaggi sono i seguenti: prima si arriva al numero finale di topi, poi al tempo impiegato.