Radicale doppio

Si definisce radicale quadratico doppio ogni espressione della forma:

${\displaystyle {\sqrt {a+{\sqrt {b}}}},}$

oppure

${\displaystyle {\sqrt {a-{\sqrt {b}}}}.}$

I radicali doppi si trovano nelle formule risolutive delle equazioni di terzo e quarto grado, anche se furono studiati già da Euclide nel X Libro dei suoi Elementi.

Talvolta è possibile trasformare un radicale doppio in una somma di due radicali. Si consideri per esempio la prima forma: ci si propone di trovare due numeri ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ tali che:

${\displaystyle {\sqrt {a+{\sqrt {b}}}}={\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}.}$

Elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene:

${\displaystyle a+{\sqrt {b}}=x+y+{\sqrt {4xy}}.}$

Quest'uguaglianza è sicuramente verificata se si pone:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x+y=a\\4xy=b\end{matrix}}\right.}$

cioè:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x+y=a\\xy={\dfrac {b}{4}}\end{matrix}}\right.}$

Le soluzioni di questo sistema simmetrico sono le radici dell'equazione quadratica

${\displaystyle t^{2}-at+{\dfrac {b}{4}}=0.}$

Risolvendo quest'equazione si ottiene

${\displaystyle t={\dfrac {a\pm {\sqrt {a^{2}-b}}}{2}},}$

e quindi:

${\displaystyle x={\dfrac {a+{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}\,,\,y={\dfrac {a-{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}.}$

Si ottiene così l'identità cercata:

${\displaystyle {\sqrt {a+{\sqrt {b}}}}={\sqrt {\dfrac {a+{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}+{\sqrt {\dfrac {a-{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}.}$

Analogamente si può ottenere:

${\displaystyle {\sqrt {a-{\sqrt {b}}}}={\sqrt {\dfrac {a+{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}-{\sqrt {\dfrac {a-{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}.}$

D'altronde è facile verificare che queste identità sono realmente verificate (a patto che ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ed ${\displaystyle a^{2}-b}$ siano positivi).

Si noti come il secondo membro sia in generale una somma di radicali doppi, perciò l'identità è effettivamente utile solo se ${\displaystyle a^{2}-b}$ è un quadrato perfetto. Ad esempio:

${\displaystyle {\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}={\sqrt {\dfrac {3+{\sqrt {3^{2}-5}}}{2}}}-{\sqrt {\dfrac {3-{\sqrt {3^{2}-5}}}{2}}},}$

e, semplificando e razionalizzando, si ottiene:

${\displaystyle {\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}={\dfrac {{\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}}{2}}.}$

Invece il radicale doppio ${\displaystyle {\sqrt {3+{\sqrt {2}}}}}$ non si può semplificare, dal momento che ${\displaystyle 3^{2}-2=7}$ non è un quadrato perfetto.

Esempio di "quadrato perfetto razionale". Dato che ${\displaystyle 5,5^{2}-10=4,5^{2}}$ in quanto ${\displaystyle 5,5^{2}-4,5^{2}=(5,5+4,5)(5,5-4,5)=10}$, si ha:

${\displaystyle {\sqrt {5,5-{\sqrt {2}}{\sqrt {5}}}}={\sqrt {{\dfrac {11}{2}}-{\sqrt {10}}}}={\sqrt {\dfrac {11-2{\sqrt {10}}}{2}}}={\dfrac {\sqrt {10-2{\sqrt {10}}+1}}{\sqrt {2}}}={\dfrac {\sqrt {({\sqrt {10}}-1)^{2}}}{\sqrt {2}}}={\dfrac {{\sqrt {2}}{\sqrt {5}}-1}{\sqrt {2}}}={\sqrt {5}}-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}={\dfrac {{\sqrt {20}}-{\sqrt {2}}}{2}}.}$

Ramanujan scoprì che

${\displaystyle x+n+a={\sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\sqrt {\cdots }}}}}}}$,

ad esempio

${\displaystyle {\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\cdots }}}}}}.}$,

ha soluzione 3 che si ottiene ponendo x = 2, n = 1, e a = 0.^[1]

Per calcolare un radicale quadratico doppio, quando è possibile, è conveniente in termini di tempo e chiarezza trasformare il radicando in una potenza ad esponente pari:

${\displaystyle {\sqrt {5+2{\sqrt {6}}}}={\sqrt {2+3+2{\sqrt {2\cdot 3}}}}={\sqrt {\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)^{2}}}={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}.}$

La formula può essere usata per dimostrare che

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{12}}={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}.}$

Ecco come si procede:

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{12}}=\cos \left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\pi }{6}}\right)={\sqrt {\frac {1+\cos {\frac {\pi }{6}}}{2}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}},}$

adesso applicando la formula:

${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}={\frac {{\sqrt {\frac {2+{\sqrt {4-3}}}{2}}}+{\sqrt {\frac {2-{\sqrt {4-3}}}{2}}}}{2}}={\frac {{\sqrt {\frac {3}{2}}}+{\sqrt {\frac {1}{2}}}}{2}}={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}},}$

equivalente a

${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}={\frac {\sqrt {\frac {4+2{\sqrt {3}}}{2}}}{2}}={\frac {\sqrt {4+2{\sqrt {3}}}}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {\sqrt {3+2{\sqrt {3}}+1}}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {\sqrt {({\sqrt {3}}+1)^{2}}}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}.}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\sqrt {5}}-2}}={\sqrt[{3}]{\frac {8{\sqrt {5}}-16}{8}}}={\sqrt[{3}]{\frac {5{\sqrt {5}}-15+3{\sqrt {5}}-1}{8}}}={\sqrt[{3}]{\frac {({\sqrt {5}}-1)^{3}}{8}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}$

• Radice (matematica)
• Razionalizzazione (matematica)

• (EN) Eric W. Weisstein, Nested Radical, su MathWorld, Wolfram Research.