Punto singolare di una curva

Una cuspide nell'origine del grafico della curva y² = x³

In geometria, un punto singolare di una curva è un punto per il quale la curva non è rappresentata da una funzione liscia. La definizione precisa dipende dal tipo di curva che si considera.

Curve algebriche nel piano

Una curva algebrica nel piano è definita come il luogo geometrico dei punti ${\displaystyle (x,y)}$ del piano che soddisfano una equazione nella forma ${\displaystyle f(x,y)=0}$ dove ${\displaystyle f}$ è una funzione polinomiale ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x,y)=a_{0}+b_{0}x+b_{1}y+c_{0}x^{2}+2c_{1}xy+c_{2}y^{2}+\dots }$

Se l'origine ${\displaystyle (0,0)}$ appartiene alla curva allora ${\displaystyle a_{0}=0}$. Se ${\displaystyle b_{1}\neq 0}$ allora il teorema delle funzioni implicite assicura che esiste una funzione liscia ${\displaystyle h}$ tale che la curva ha la forma ${\displaystyle y=h(x)}$ in un intorno dell'origine. Analogamente, se ${\displaystyle b_{0}\neq 0}$ allora esiste una funzione liscia ${\displaystyle k}$ tale che la curva ha la forma ${\displaystyle x=k(y)}$ in un intorno dell'origine. In entrambi i casi, esiste una mappa regolare da ${\displaystyle \mathbb {R} }$ al piano sul quale è definita la curva in un intorno dell'origine. Nell'origine si ha che

${\displaystyle b_{0}={\partial f \over \partial x},\,b_{1}={\partial f \over \partial y},}$

per cui la curva è non singolare, o regolare, nell'origine se almeno una delle derivate parziali di ${\displaystyle f}$ è non nulla. I punti singolari sono quei punti della curva nei quali si annulla il gradiente di ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle f(x,y)={\partial f \over \partial x}={\partial f \over \partial y}=0.}$.

Punti di regolarità

Assumendo che la curva passi per l'origine e ponendo ${\displaystyle y=mx}$, ${\displaystyle f}$ può essere scritta come

${\displaystyle f=(b_{0}+mb_{1})x+(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+\dots .\,}$

Se ${\displaystyle b_{0}+mb_{1}\neq 0}$ allora ${\displaystyle f=0}$ ha una soluzione di molteplicità ${\displaystyle 1}$ per ${\displaystyle x=0}$ e l'origine è un punto di contatto di ordine ${\displaystyle 1}$ con la retta ${\displaystyle y=mx}$.

Se ${\displaystyle b_{0}+mb_{1}=0}$ allora ${\displaystyle f=0}$ ha una soluzione di molteplicità maggiore o uguale a ${\displaystyle 2}$ e la retta ${\displaystyle y=mx}$ ovvero ${\displaystyle b_{0}x+b_{1}y=0}$ è tangente alla curva. In tale caso, se ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}\neq 0}$ allora la curva ha un punto di contatto di ordine ${\displaystyle 2}$ con ${\displaystyle y=mx}$.

Se il coefficiente di ${\displaystyle x^{2}}$ è nullo ovvero se ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0}$ ma non è nullo il coefficiente di ${\displaystyle x^{3}}$ allora l'origine è un punto di flesso della curva. Se entrambi i coefficienti di ${\displaystyle x^{2}}$ e ${\displaystyle x^{3}}$ sono nulli allora l'origine è un punto di ondulazione.^[1] Tale analisi si generalizza ad ogni punto della curva, traslandola in modo che il punto di interesse vada a cadere nell'origine.^[2]

Punti doppi

Tre limaçon: la curva a sinistra ha un punto doppio isolato nell'origine, quella al centro (cardioide) ha una cuspide nell'origine, quella a destra ha un nodo (autointersezione) nell'origine.

Se ${\displaystyle b_{0}}$ e ${\displaystyle b_{1}}$ sono entrambi nulli ma almeno uno tra ${\displaystyle c_{0}}$, ${\displaystyle c_{1}}$ e ${\displaystyle c_{2}}$ è non nullo allora l'origine è un punto doppio per la curva. Ponendo ${\displaystyle y=mx}$ , ${\displaystyle f}$ può essere scritta come

${\displaystyle f=(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+(d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+d_{3}m^{3})x^{3}+\dots .\,}$

I punti doppi possono essere classificati secondo le soluzioni di ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0}$.

Nodi

Se ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0}$ ha due soluzioni reali rispetto a ${\displaystyle m}$, ovvero se ${\displaystyle c_{0}c_{2}-(c_{1})^{2}<0}$ allora l'origine è un nodo per la curva. In tale caso la curva ha un'autointersezione nell'origine e ha due tangenti distinte corrispondenti alle due soluzioni di ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0}$. La funzione ${\displaystyle f}$ ha un punto di sella in corrispondenza.

Punti doppi isolati

Se ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0}$ non ha soluzioni reali rispetto a ${\displaystyle m}$, ovvero se ${\displaystyle c_{0}c_{2}-(c_{1})^{2}>0}$, allora l'origine è un punto doppio isolato (o nodo isolato). Nel piano reale è quindi un punto isolato, ma se si considera la curva complessa l'origine non è un punto isolato e ha due tangenti immaginarie, corrispondenti alle due soluzioni complesse di ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0}$. La funzione ${\displaystyle f}$ ha un estremo locale in corrispondenza.

Cuspidi

Se ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0}$ ha una soluzione di molteplicità ${\displaystyle 2}$ rispetto a ${\displaystyle m}$, ovvero ${\displaystyle c_{0}c_{2}-(c_{1})^{2}=0}$, allora l'origine è un punto di cuspide. La curva cambia direzione con un angolo netto nell'origine e ha una sola tangente, che può essere considerata come due tangenti coincidenti.

Ulteriori classificazioni

Il numero di nodi o cuspidi di una curva è uno dei due invarianti della formula di Plücker.

Se una delle soluzioni di ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0}$ è anche soluzione di ${\displaystyle d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+d_{3}m^{3}=0}$ allora il ramo corrispondente della curva ha un punto di flesso nell'origine, che in questo caso è un punto di flencnodo.^[3] Se entrambe le tangenti hanno questa proprietà, ovvero ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0}$ è un fattore di ${\displaystyle d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+d_{3}m^{3}=0}$, allora l'origine è un biflecnodo.^[4]

Punti multipli

La curva ${\displaystyle f(t)=(\sin(2t)+\cos(t),\sin(t)+\cos(2t)}$ ha un punto triplo nell'origine

In generale, se tutti i termini di grado inferiore a ${\displaystyle k}$ sono nulli, almeno un termine di grado ${\displaystyle k}$ è non nullo in ${\displaystyle f}$ e la curva ha un punto multiplo di ordine ${\displaystyle k}$. La curva avrà, in generale, ${\displaystyle k}$ tangenti nell'origine, anche se alcune di esse possono essere immaginarie.^[5]

Curve parametriche

Una curva parametrica in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ è definita come l'immagine di una funzione ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2},\ g(t)=(g_{1}(t),g_{2}(t))}$. I punti singolari sono quelli per i quali si annulla il gradiente di ${\displaystyle g}$, ovvero

${\displaystyle {dg_{1} \over dt}={dg_{2} \over dt}=0.}$

Molte curve possono essere definite in questa maniera, ma le definizioni di singolarità possono non essere sempre concordi. La cuspide è singolare in entrambe le definizioni, un esempio è la curva seguente che ha una cuspide nell'origine, e può essere definita implicitamente come ${\displaystyle x^{3}-y^{2}=0}$ o in forma parametrica come ${\displaystyle g(t)=(t^{2},t^{3})}$. Nel caso dei nodi non è sempre questo il caso, ad esempio nella curva ${\displaystyle y^{2}-x^{3}-x^{2}=0}$, l'origine è un punto singolare se si considera la curva definita implicitamente in forma algebrica, ma considerando la parametrizzazione ${\displaystyle g(t)=(t^{2}-1,t^{3}-t)}$, si ha che ${\displaystyle g'(t)=(2t,3t^{2}-1)}$ non si annulla mai, e il nodo non è un punto singolare per la parametrizzazione.

È necessario prestare attenzione nella scelta della parametrizzazione: ad esempio la retta ${\displaystyle y=0}$ parametrizzata da ${\displaystyle g(t)=(t^{3},0)}$ ha una singolarità nell'origine, mentre quando è parametrizzata da ${\displaystyle g(t)=(t,0)}$ non ha singolarità. Per questo motivo, è più opportuno parlare di punto singolare di una parametrizzazione regolare piuttosto che di punto singolare della curva in sé.

La precedente definizione può essere estesa per coprire i punti singolari delle curve implicite, che sono definiti come insieme degli zeri ${\displaystyle f^{-1}(0)}$ di una funzione liscia, e può essere estesa per curve in più dimensioni.

Un teorema di Hassler Whitney afferma che ogni insieme chiuso in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ è l'insieme degli zeri ${\displaystyle f^{-1}(0)}$ di una opportuna funzione liscia ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$.^[6][7]

Note

1. ondulazione in “Dizionario delle Scienze Fisiche” – Treccani
2. Hilton, chap. II §1.
3. flecnodo in “Dizionario delle Scienze Fisiche” – Treccani
4. Hilton, chap. II §2.
5. Hilton, chap. II §3.
6. (EN) Brooker and Larden, Differential Germs and Catastrophes, London Mathematical Society. Lecture Notes 17. Cambridge, (1975)
7. (EN) Bruce and Giblin, Curves and singularities, (1984, 1992) ISBN 0-521-41985-9, ISBN 0-521-42999-4 (paperback)

Bibliografia

• (EN) Harold Hilton, Chapter II: Singular Points, in Plane Algebraic Curves, Oxford, 1920.

Voci correlate

• Teoria di Morse
• Teoria delle singolarità
• Curva (matematica)
• Curva piana
• Curva nello spazio
• Cuspide (matematica)
• Punto angoloso