Punto di diramazione

In analisi complessa, un punto di diramazione (o di ramificazione) di una funzione polidroma (o multifunzione) è un punto del dominio in cui la funzione è discontinua se ristretta a una curva che gira attorno al punto in un intorno arbitrariamente piccolo del punto.^[1] Le funzioni polidrome sono studiate rigorosamente con le superfici di Riemann, e la definizione formale di punto di diramazione usa questo concetto.

Tagli

Grosso modo, i punti di diramazione sono i punti nei quali i vari rami della multifunzione si incontrano. Per esempio, la funzione radice quadrata ha due rami: uno con il segno positivo, e uno con il negativo. Un taglio è una curva nel piano complesso tale che è possibile definire un singolo ramo analitico di una multifunzione nel piano senza quella curva. I tagli sono solitamente, ma non sempre, fatti tra coppie di punti di diramazione.

I tagli permettono di lavorare con un insieme di funzioni a valore singolo "incollate" insieme lungo i tagli, invece che con una multifunzione.

Per esempio, per rendere la funzione ${\displaystyle f(z)={\sqrt {z}}{\sqrt {1-z}}}$ a valore singolo, si fa un taglio lungo l'intervallo ${\displaystyle [0,1]}$ dell'asse reale, che connette i due punti di diramazione della funzione.

La stessa idea può essere applicata alla funzione radice quadrata ${\displaystyle f(z)={\sqrt {z}},}$ ma in questo caso si considera il "punto all'infinito" come "secondo punto di diramazione" da congiungere con ${\displaystyle 0;}$ questo si può fare prendendo come taglio il semiasse reale negativo.

La tecnica dei tagli sembra arbitraria (e lo è), ma è molto utile, ad esempio nella teoria delle funzioni speciali. Una spiegazione invariante dei tagli è sviluppata nella teoria delle superfici di Riemann.

Logaritmo complesso

Grafico della parte polidroma immaginaria della funzione logaritmo complesso, dove si vedono i rami. Mentre un numero complesso z gira intorno all'origine, la parte immaginaria del logaritmo va su e giù. Questo rende l'origine un punto di diramazione della funzione.

Un noto esempio di multifunzione è il logaritmo di un numero complesso. Un numero complesso z è esprimibile, con la formula di Eulero come ${\displaystyle |z|e^{i\theta }}$dove |z| è il modulo di z, e θ è l'argomento di z. Allora:

${\displaystyle \log(z)=\log(|z|e^{i\theta })=\log(|z|)+i\theta }$

C'è ambiguità nella definizione dell'angolo θ, perché se sommiamo a θ un qualsiasi multiplo intero di 2π si ottiene un altro angolo, cioè un altro valore della funzione. Un ramo del logaritmo è una funzione continua che dà il logaritmo di z per ogni z in un insieme aperto connesso nel piano complesso.

Note

1. (EN) Mark J. Ablowitz e Athanassios S. Fokas, Complex Variables: Introduction and Applications, Cambridge University Press, 2003, ISBN 978-0-521-53429-1., p. 46

Bibliografia

• Mark J. Ablowitz e Athanassios S. Fokas, Complex Variables: Introduction and Applications, Cambridge Texts in Applied Mathematics, 2ª ed., Cambridge University Press, 2003, ISBN 978-0-521-53429-1.
• L. V. Ahlfors, Complex Analysis, New York, McGraw-Hill Education, 1979, ISBN 978-0-07-000657-7.
• G. B. Arfken e H. J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 5ª ed., Boston, MA, Academic Press, 2000, ISBN 978-0-12-059825-0.
• Robin Hartshorne, Algebraic Geometry, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1977, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157, OCLC 13348052.
• A. I. Markushevich, Theory of functions of a complex variable. Vol. I, Translated and edited by Richard A. Silverman, Englewood Cliffs, N.J., Prentice-Hall Inc., 1965, MR 0171899.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Punto di diramazione, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Punto di diramazione, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.