Prodotto diadico

In algebra lineare, il prodotto diadico o prodotto esterno,^[1] di due vettori è una matrice . Se i due vettori hanno dimensioni n e m, il loro prodotto esterno è una matrice n × m.

Il prodotto esterno si può definire in ambito più generale: dati due tensori, il loro prodotto esterno è un tensore. Il prodotto esterno dei tensori è anche chiamato il loro prodotto tensoriale e può essere usato per definire l'algebra tensoriale .

Il prodotto esterno differisce da:

• il prodotto scalare, che a partire da una coppia di vettori produce uno scalare;
• il prodotto di Kronecker, che a partire da una coppia di matrici produce una matrice;
• la classica moltiplicazione di matrici righe per colonne.

Definizione

Dati due vettori di dimensioni ${\displaystyle m\times 1}$ e ${\displaystyle n\times 1}$ rispettivamente

${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\\vdots \\u_{m}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}},}$

il loro prodotto esterno, denotato ${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ,}$ è definito come una matrice ${\displaystyle \mathbf {A} }$ con forma ${\displaystyle m\times n}$ e il prodotto esterno è ottenuto moltiplicando ogni elemento di ${\displaystyle \mathbf {u} }$ con ogni elemento di ${\displaystyle \mathbf {v} }$:^[2]

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&\dots &u_{1}v_{n}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&\dots &u_{2}v_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\u_{m}v_{1}&u_{m}v_{2}&\dots &u_{m}v_{n}\end{bmatrix}}.}$

Alternativamente nella notazione con indici:

${\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )_{ij}=u_{i}v_{j}.}$

Sia ${\displaystyle \cdot }$ il prodotto scalare, allora per ogni vettore ${\displaystyle \mathbf {w} }$ di dimensioni ${\displaystyle n\times 1}$ si ha

${\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )\mathbf {w} =(\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {u} ,}$

e per ogni vettore ${\displaystyle \mathbf {x} }$ di dimensioni ${\displaystyle 1\times m}$ si ha

${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {v} ^{\operatorname {T} }.}$

Se ${\displaystyle \mathbf {u} }$ e ${\displaystyle \mathbf {v} }$ sono vettori con stesse dimensioni, allora ${\displaystyle \det(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )=0.}$

Il prodotto esterno ${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$ è equivalente a una moltiplicazione matriciale ${\displaystyle \mathbf {u} \mathbf {v} ^{\operatorname {T} },}$ purché ${\displaystyle \mathbf {u} }$ è rappresentato come a ${\displaystyle m\times 1}$ vettore colonna e ${\displaystyle \mathbf {v} }$ come un ${\displaystyle n\times 1}$ vettore colonna (che rende ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\operatorname {T} }}$ un vettore riga).^[3][4] Ad esempio, se ${\displaystyle m=4}$ e ${\displaystyle n=3,}$ allora^[5]

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\u_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\\u_{4}v_{1}&u_{4}v_{2}&u_{4}v_{3}\end{bmatrix}}.}$

Per vettori a elementi complessi, è spesso utile prendere la trasposta coniugata di ${\displaystyle \mathbf {v} ,}$ indicato ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\dagger }}$ o ${\displaystyle \left(\mathbf {v} ^{\operatorname {T} }\right)^{*}}$:

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\dagger }=\mathbf {u} \left(\mathbf {v} ^{\operatorname {T} }\right)^{*}.}$

Confronto con il prodotto scalare euclideo

Se ${\displaystyle m=n,}$ allora si può prendere il prodotto matriciale ${\displaystyle \mathbf {u} ^{\textsf {T}}\mathbf {v} }$ ottenendo uno scalare (o matrice ${\displaystyle 1\times 1}$). Questo è il prodotto scalare standard per gli spazi vettoriali euclidei.^[4] Il prodotto scalare è la traccia del prodotto esterno.^[6] A differenza del prodotto scalare, il prodotto esterno non è commutativo.

La moltiplicazione di un vettore ${\displaystyle \mathbf {w} }$ per una matrice ${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$ può essere scritta in termini di prodotto scalare, usando la relazione ${\displaystyle \left(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} \right)\mathbf {w} =\mathbf {u} \left\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \right\rangle }$.

Prodotto esterno di tensori

Dati due tensori ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} }$ con dimensioni ${\displaystyle (k_{1},k_{2},\dots ,k_{m})}$ e ${\displaystyle (l_{1},l_{2},\dots ,l_{n})}$, il loro prodotto esterno ${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$ è un tensore con dimensioni ${\displaystyle (k_{1},k_{2},\dots ,k_{m},l_{1},l_{2},\dots ,l_{n})}$ ed elementi

${\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )_{i_{1},i_{2},\dots i_{m},j_{1},j_{2},\dots ,j_{n}}=u_{i_{1},i_{2},\dots ,i_{m}}v_{j_{1},j_{2},\dots ,j_{n}}.}$

Ad esempio, se ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ha dimensioni ${\displaystyle (3,5,7)}$ e ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ha dimensioni ${\displaystyle (10,100),}$ il loro prodotto esterno ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ha dimensioni ${\displaystyle (3,5,7,10,100).}$ Se ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ha una componente ${\displaystyle \mathbf {A} _{2,2,4}=11}$ e ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ha una componente ${\displaystyle \mathbf {B} _{8,88}=13,}$ allora la componente di ${\displaystyle \mathbf {C} }$ formato dal prodotto esterno è ${\displaystyle \mathbf {C} _{2,2,4,8,88}=143.}$

Collegamento con il prodotto Kronecker

Il prodotto esterno e il prodotto di Kronecker sono strettamente correlati; infatti lo stesso simbolo è comunemente usato per denotare entrambe le operazioni.

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes _{\text{Kron}}\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}4\\5\\8\\10\\12\\15\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {u} \otimes _{\text{outer}}\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}4&5\\8&10\\12&15\end{bmatrix}}.}$

Nel caso dei vettori colonna, il prodotto di Kronecker può essere visto come una forma di vettorializzazione del prodotto esterno. In particolare, per due vettori colonna ${\displaystyle \mathbf {u} }$ e ${\displaystyle \mathbf {v} }$, possiamo scrivere:

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes _{\text{Kron}}\mathbf {v} =\operatorname {vec} (\mathbf {v} \otimes _{\text{outer}}\mathbf {u} ).}$

Notare che l'ordine dei vettori è invertito nella parte destra dell'uguaglianza.

Un'altra identità simile che evidenzia ulteriormente la somiglianza tra le operazioni è

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes _{\text{Kron}}\mathbf {v} ^{\operatorname {T} }=\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\operatorname {T} }=\mathbf {u} \otimes _{\text{outer}}\mathbf {v} ,}$

dove non è necessario invertire l'ordine dei vettori. L'espressione centrale usa la moltiplicazione matriciale, dove i vettori sono considerati come matrici colonna/riga.

Proprietà

Il prodotto esterno dei vettori soddisfa le seguenti proprietà:

${\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )^{\operatorname {T} }=(\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} );}$

${\displaystyle (\mathbf {v} +\mathbf {w} )\otimes \mathbf {u} =\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} +\mathbf {w} \otimes \mathbf {u} ;}$

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes (\mathbf {v} +\mathbf {w} )=\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {u} \otimes \mathbf {w} ;}$

${\displaystyle c(\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} )=(c\mathbf {v} )\otimes \mathbf {u} =\mathbf {v} \otimes (c\mathbf {u} );}$

${\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )\otimes \mathbf {w} =\mathbf {u} \otimes (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} ).}$

Rango di un prodotto esterno

Se ${\displaystyle \mathbf {u} }$ e ${\displaystyle \mathbf {v} }$ sono entrambi diversi da zero, la matrice del prodotto esterno ${\displaystyle \mathbf {u} \mathbf {v} ^{\operatorname {T} }}$ ha sempre rango 1. Infatti le colonne del prodotto esterno sono tutte proporzionali alla prima colonna, quindi sono tutte linearmente dipendenti da quella colonna e quindi la matrice è di rango 1.

Nei linguaggi di programmazione

In alcuni linguaggi di programmazione, data una funzione a due argomenti f (o un operatore binario), il prodotto esterno di f e due array unidimensionali A e B è un array bidimensionale C tale che C[i, j] = f(A[i], B[j]). Questo è rappresentato sintatticamente in vari modi: in APL, come operatore binario infisso ∘.f; in J, come l'avverbio postfisso f/; in R, come funzione outer(A, B, f) o lo speciale %o% ;^[7] in Mathematica, come Outer[f, A, B]. In MATLAB, la funzione kron(A, B) viene utilizzato per questo prodotto. Questi spesso si generalizzano in argomenti multidimensionali e più di due argomenti.

Nella libreria Python NumPy, il prodotto esterno può essere calcolato con la funzione np.outer().^[8] Al contrario, np.kron risulta in un flat array. Il prodotto esterno di array multidimensionali può essere calcolato utilizzando np.multiply.outer .

Note

1. In questo contesto, "prodotto esterno" è il calco dell'inglese outer product. Questo prodotto non va confuso con il prodotto wedge, chiamato anche "prodotto esterno" (in inglese exterior product).
2. R. G. Lerner e G. L. Trigg, Encyclopaedia of Physics, 2ndª ed., VHC, 1991, ISBN 0-89573-752-3.
3. S. Lipschutz e M. Lipson, Linear Algebra, collana Schaum’s Outlines, 4thª ed., McGraw-Hill, 2009, ISBN 978-0-07-154352-1.
4. inf.ed.ac.uk, http://www.inf.ed.ac.uk/teaching/courses/cfcs1/lectures/cfcs_l10.pdf Titolo mancante per url url (aiuto). URL consultato il September 6, 2020.
5. James M. Ortega (1987) Matrix Theory: A Second Course, page 7, Plenum Press ISBN 0-306-42433-9
6. Robert F. Stengel, Optimal Control and Estimation, New York, Dover Publications, 1994, p. 26, ISBN 0-486-68200-5.
7. rdocumentation.org, https://www.rdocumentation.org/packages/base/versions/3.6.2/topics/outer Titolo mancante per url url (aiuto). URL consultato il 7 settembre 2020.
8. numpy.org, https://numpy.org/doc/stable/reference/generated/numpy.outer.html Titolo mancante per url url (aiuto). URL consultato il 7 settembre 2020.