Principio di fase stazionaria

In matematica, il principio di fase stazionaria è un principio di base dell'analisi asintotica, applicata agli integrali oscillatori:

${\displaystyle I(k)=\int _{a}^{b}g(x)e^{ikf(x)}\,dx}$

in cui ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ e ${\displaystyle k\rightarrow +\infty }$. Fu introdotto da Lord Kelvin nel 1877.

Ipotesi

• ${\displaystyle x\in R}$;
• ${\displaystyle k}$ è un numero intero, reale e tendente ad infinito;
• ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ sono due funzioni reali, continue e lisce (cioè ${\displaystyle C^{\infty }}$) ${\displaystyle \forall x\in R}$;

Risultati

• Se ${\displaystyle f(x)}$ non possiede punti stazionari su ${\displaystyle a\leq x_{0}\leq b}$, integrando per parti si ottiene:

${\displaystyle I(k)\cong {\frac {g(b)}{ikf'(b)}}e^{ikf(b)}-{\frac {g(a)}{ikf'(a)}}e^{ikf(a)}}$

• Se ${\displaystyle f(x)}$ è stazionario in un unico punto ${\displaystyle a<x_{0}<b}$

${\displaystyle I(k)\cong g(x_{0}){\sqrt {\frac {2\pi }{k\left|{f''(x_{0})}\right|}}}e^{i\left[kf(x_{0})\pm {\frac {\pi }{4}}f''(x_{0})\right]}}$

• Se ${\displaystyle f(x)}$ possiede un solo punto stazionario corrispondente al limite inferiore dell'integrale ${\displaystyle x_{0}=a}$

${\displaystyle I(k)\cong {\frac {g(b)}{ikf'(b)}}e^{ikf(b)}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2\pi }{k|f''(x_{0})|}}}g(x_{0})e^{ikf(x_{0})}e^{i\pm {\frac {\pi }{4}}}}$

• Se ${\displaystyle f(x)}$ possiede un solo punto stazionario corrispondente al limite superiore dell'integrale ${\displaystyle x_{0}=b}$

${\displaystyle I(k)\cong -{\frac {g(a)}{ikf'(a)}}e^{ikf(a)}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2\pi }{k|f''(x_{0})|}}}g(x_{0})e^{ikf(x_{0})}e^{i\pm {\frac {\pi }{4}}}}$

Bibliografia

• Lord Kelvin (1887) Philosophical Magazine 23 p. 252; Proceedings of the Royal Society 83 p. 80.
• Bleistein, N. and Handelsman, R. (1975), Asymptotic Expansions of Integrals, Dover, New York.
• E.T. Copson, Asymptotic Expansions, Cambridge University Press, 1965.

Voci correlate

• Metodo del punto di sella
• Trasformata di Fourier

Collegamenti esterni

• M. Garbey e H. G. Kaper Asymptotic analysis: Working Note No. 2, Approximation of integrals Rapporto ANL/MCS-TM-180 (1993)