Norma operatoriale

In matematica, la norma operatoriale di un operatore lineare è la norma definita sullo spazio degli operatori limitati lineari tra spazi vettoriali normati.

Definizione

Considerando due spazi normati ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ sul medesimo campo ${\displaystyle \mathbb {R} }$ o ${\displaystyle \mathbb {C} }$, una trasformazione lineare ${\displaystyle A:V\to W}$ è continua se e solo se esiste un numero reale ${\displaystyle c}$ tale per cui:

${\displaystyle \|Av\|_{W}\leq c\|v\|_{V}\quad \forall v\in V}$

Intuitivamente, l'operatore ${\displaystyle A}$ non "allunga" mai i vettori su cui agisce di un fattore maggiore di ${\displaystyle c}$. In questo modo, l'immagine di un insieme limitato è limitata. Da questo fatto segue che gli operatori lineari continui sono anche detti operatori limitati.

La norma operatoriale è definita considerando il più piccolo ${\displaystyle c}$ tale per cui la precedente uguaglianza vale per ogni ${\displaystyle v}$:

${\displaystyle \|A\|_{op}=\min\{c\geq 0:\|Av\|\leq c\|v\|{\mbox{ per ogni }}v\in V\}}$

dove il minimo esiste sempre grazie al fatto che tale insieme è chiuso, limitato e non vuoto.

Si può mostrare che le seguenti definizioni sono equivalenti a quella data:

${\displaystyle {\begin{aligned}\|A\|_{op}&=\sup\{\|Av\|:v\in V{\mbox{ con }}\|v\|\leq 1\}\\&=\sup\{\|Av\|:v\in V{\mbox{ con }}\|v\|<1\}\\&=\sup\{\|Av\|:v\in V{\mbox{ con }}\|v\|=1\}\\&=\sup \left\{{\frac {\|Av\|}{\|v\|}}:v\in V{\mbox{ con }}v\neq 0\right\}\end{aligned}}}$

Proprietà

La norma operatoriale è una norma definita sullo spazio degli operatori limitati da ${\displaystyle V}$ in ${\displaystyle W}$, che significa:

• ${\displaystyle \|A\|_{op}\geq 0}$ e ${\displaystyle \|A\|_{op}=0}$ se e solo se ${\displaystyle A=0}$.
• Si verifica:

${\displaystyle \|aA\|_{op}=|a|\|A\|_{op}\quad \forall a}$

dove ${\displaystyle a}$ è uno scalare.

• Valgono le disuguaglianze:

${\displaystyle \|A+B\|_{op}\leq \|A\|_{op}+\|B\|_{op}\qquad \|Av\|\leq \|A\|_{op}\|v\|\quad \forall v\in V}$

Se ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle W}$ e ${\displaystyle X}$ sono spazi normati sullo stesso campo e ${\displaystyle A:V\to W}$, ${\displaystyle B:W\to X}$ sono operatori limitati, allora:

${\displaystyle \|BA\|_{op}\leq \|B\|_{op}\|A\|_{op}}$

Per gli operatori limitati su ${\displaystyle V}$ questo implica che la moltiplicazione tra operatori è continua.

Dalla definizione segue inoltre che se una successione di operatori converge nella norma operatoriale allora converge uniformemente su insiemi limitati.

Operatori in spazi di Hilbert

Sia ${\displaystyle H}$ uno spazio di Hilbert reale e ${\displaystyle A:H\to H}$ un operatore lineare limitato. Allora si ha:

${\displaystyle \|A\|_{op}=\|A^{*}\|_{op}}$

e inoltre:

${\displaystyle \|A^{*}A\|_{op}=\|A\|_{op}^{2}}$

dove ${\displaystyle A^{*}}$ è l'operatore aggiunto di ${\displaystyle A}$ (che in uno spazio euclideo con il prodotto scalare standard è rappresentato dalla matrice trasposta coniugata di ${\displaystyle A}$).

In generale, il raggio spettrale ${\displaystyle \rho (A)}$ di ${\displaystyle A}$ è limitato dalla norma operatoriale di ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle \rho (A)\leq \|A\|_{op}}$

Quando una matrice ${\displaystyle N}$ è normale la sua forma canonica di Jordan è diagonale, in accordo con il teorema spettrale. In tal caso è semplice vedere che:

${\displaystyle \rho (N)=\|N\|_{op}}$

Il teorema spettrale può essere esteso a operatori normali in generale, e la precedente uguaglianza vale per ogni operatore normale limitato ${\displaystyle N}$. Lo spazio degli operatori limitati su ${\displaystyle H}$ con la topologia indotta dalla norma operatoriale non è separabile. L'insieme degli operatori limitati su uno spazio di Hilbert, insieme con la norma operatoriale e l'operazione di aggiuntezza, produce una C*-algebra.

Bibliografia

• John B. Conway, A course in functional analysis, New York, Springer-Verlag, 1990, p. 67, ISBN 0-387-97245-5.

Voci correlate

• Norma (matematica)
• Norma uniforme
• Operatore limitato
• Operatore lineare continuo
• Spazio normato