Modello di Vicsek

In fisica statistica, il modello di Vicsek è un modello matematico utilizzato per descrivere in modo semplificato (un toy model) la materia attiva. La principale motivazione alla base dello studio della materia attiva da parte dei fisici è la ricca fenomenologia associata a questo campo, di cui il moto collettivo e la sciamatura sono tra i fenomeni più studiati. All'interno dell'enorme numero di modelli che sono stati sviluppati per catturare tale comportamento partire da una descrizione microscopica, il più famoso è il modello introdotto da Tamás Vicsek, assieme ad altri scienziati, nel 1995.^[1] In realtà un modello molto simile era stato già introdotto in precedenza nel campo della computer grafica da Craig Reynolds nel 1986 con il software Boids.^[2]

I fisici hanno un grande interesse per modello di questo tipo in quanto è minimale e descrive dei comportamenti universali. È costituito da particelle semoventi puntiformi che si muovono a velocità costante e allineano la direzione del loro moto con quella delle particelle vicine, in presenza di rumore. Tale modello è in grado di simulare un moto movimento collettivo per una elevata densità di particelle o per un basso rumore di fondo.

Descrizione matematica

Un elemento ${\displaystyle i}$ è descritto dal suo vettore posizione ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}(t)}$ e dall'angolo ${\displaystyle \Theta _{i}(t)}$ che definisce la direzione del suo moto al tempo ${\displaystyle t}$. L'evoluzione temporale, discretizzata, di una particella è quindi data da due equazioni: ad ogni intervallo di tempo ${\displaystyle \Delta t}$, ogni individuo si allinea con i suoi vicini ${\displaystyle j}$, posti a distanza massima ${\displaystyle r}$, con un'incertezza dovuta a un rumore stocastico ${\displaystyle \eta _{i}(t)}$, come:

${\displaystyle \Theta _{i}(t+\Delta t)=\langle \Theta _{j}\rangle _{|r_{i}-r_{j}|<r}+\eta _{i}(t)}$

dove ${\displaystyle \langle \Theta _{j}\rangle _{|r_{i}-r_{j}|<r}}$ indica la direzione media del moto delle particelle (compresa ${\displaystyle i}$) che si trovano all'interno del cerchio di raggio ${\displaystyle r}$, e si muove a velocità costante ${\displaystyle v}$ nella nuova direzione:

${\displaystyle \mathbf {r} _{i}(t+\Delta t)=\mathbf {r} _{i}(t)+v\Delta t{\begin{pmatrix}\cos \Theta _{i}(t)\\\sin \Theta _{i}(t)\end{pmatrix}}}$

L'intero modello dipende da tre parametri: la densità delle particelle, l'intensità del rumore sull'allineamento e il rapporto tra la distanza percorsa in un intervallo ${\displaystyle v\Delta t}$ e il raggio di interazione ${\displaystyle r}$. Da queste due semplici regole iterative sono state ricavate varie teorie continue,^[3] fra cui la più famosa è il modello di Toner-Tu^[4] che descrive il sistema con un'equazione di tipo idrodinamico. È stata sviluppata anche una teoria cinetica alla Enskog, valida per valori di densità arbitrari.^[5] Questa teoria è in grado di descrivere quantitativamente la formazione di onde di densità ripide, chiamate anche onde di invasione, nei pressi della transizione al moto collettivo.^[6]

Fenomenologia

Questo modello mostra una transizione di fase^[7] da un moto disordinato a un moto ordinato su larga scala. A grande rumore, o a bassa densità, le particelle sono in generale non allineate fra loro, e si comportano come un gas disordinato. A basso rumore e ad alta densità, le particelle invece sono allineate fra loro muovendosi nella stessa direzione, come un liquido ordinato. La transizione tra queste due fasi non è continua, infatti il diagramma di fase del sistema mostra una transizione di fase del primo ordine con una regione di coesistenza. In tale regione, bande di "liquido" di dimensione finita^[8] emergono all'interno di un ambiente "gassoso" e si muovono lungo la loro direzione trasversale. Recentemente è stata scoperta una nuova fase: una fase ordinata polare, simile al mare a croce, di onde di densità. Questa organizzazione spontanea delle particelle è quindi un toy model di comportamento emergente nel campo della materia attiva.

Estensioni

Dalla sua comparsa nel 1995 questo modello è stato molto popolare all'interno della comunità dei fisici statistici; con molti scienziati che ci hanno lavorato e hanno provato ad ampliarlo. Ad esempio, si possono ricavare diverse classi di universalità a partire da semplici argomenti di simmetria riguardanti il moto delle particelle e il loro allineamento.^[9]

Per descrivere in modo più realistico i sistemi reali, si possono aggiungere molti altri effetti, ad esempio attrazione e repulsione tra agenti, particelle di dimensione finita o di forma non sferica, chemiotassi (ad esempio nei sistemi biologici), memoria (ossia il moto di una particella dipende non solo dai valori al tempo ${\displaystyle t}$, ma anche ai tempi precedenti), particelle non tutte identiche fra di loro, o l'influsso del liquido in cui sono immerse le particelle (nel caso in cui esse siano micronuotatori come i batteri).

Una teoria più semplice, il modello di Ising attivo,^[10] è stata sviluppata per facilitare l'analisi del modello di Vicsek.

Note

1. Tamás Vicsek, Novel Type of Phase Transition in a System of Self-Driven Particles, vol. 75, 7 agosto 1995, DOI:10.1103/PhysRevLett.75.1226, PMID 10060237, arXiv:cond-mat/0611743.
2. Craig W. Reynolds, Flocks, herds and schools: A distributed behavioral model, in ACM SIGGRAPH Computer Graphics, vol. 21, n. 4, 1º agosto 1987, pp. 25–34, DOI:10.1145/37402.37406. URL consultato il 9 novembre 2021.
3. Eric Bertin, Boltzmann and hydrodynamic description for self-propelled particles, in Physical Review E, vol. 74, n. 2, 2 agosto 2006, pp. 022101, DOI:10.1103/PhysRevE.74.022101, PMID 17025488, arXiv:cond-mat/0601038.
4. John Toner, Long-Range Order in a Two-Dimensional Dynamical $\mathrm{XY}$ Model: How Birds Fly Together, in Physical Review Letters, vol. 75, n. 23, 4 dicembre 1995, pp. 4326–4329, DOI:10.1103/PhysRevLett.75.4326, PMID 10059876.
5. Thomas Ihle, Kinetic theory of flocking: Derivation of hydrodynamic equations, in Physical Review E, vol. 83, n. 3, 16 marzo 2011, pp. 030901, DOI:10.1103/PhysRevE.83.030901.
6. Thomas Ihle, Invasion-wave-induced first-order phase transition in systems of active particles, in Physical Review E, vol. 88, n. 4, 18 ottobre 2013, pp. 040303, DOI:10.1103/PhysRevE.88.040303, arXiv:1304.0149.
7. Guillaume Grégoire, Onset of Collective and Cohesive Motion, in Physical Review Letters, vol. 92, n. 2, 15 gennaio 2004, pp. 025702, DOI:10.1103/PhysRevLett.92.025702, PMID 14753946, arXiv:cond-mat/0401208.
8. Alexandre P. Solon, From Phase to Microphase Separation in Flocking Models: The Essential Role of Nonequilibrium Fluctuations, in Physical Review Letters, vol. 114, n. 6, 12 febbraio 2015, pp. 068101, DOI:10.1103/PhysRevLett.114.068101, PMID 25723246, arXiv:1406.6088.
9. H. Chaté, Modeling collective motion: variations on the Vicsek model, in The European Physical Journal B, vol. 64, 3–4, 11 luglio 2008, pp. 451–456, DOI:10.1140/epjb/e2008-00275-9, ISSN 1434-6028 (WC · ACNP).
10. A. P. Solon, Revisiting the Flocking Transition Using Active Spins, in Physical Review Letters, vol. 111, n. 7, 13 agosto 2013, pp. 078101, DOI:10.1103/PhysRevLett.111.078101, PMID 23992085, arXiv:1303.4427.