Modello di Ehrenfest

Il modello di Ehrenfest della diffusione fu proposto da Tatiana e Paul Ehrenfest per spiegare il secondo principio della termodinamica. È un esempio di catena di Markov.

Il modello è costituito da ${\displaystyle N}$ particelle in due contenitori.

Ad ogni istante ${\displaystyle t=1,2,...}$ una particella viene scelta a caso (ogni particella ha una probabilità ${\displaystyle 1/N}$ di essere scelta) e spostata nell'altro contenitore.

Sia ${\displaystyle X(t)}$ la variabile aleatoria che rappresenta il numero di particelle in uno dei due contenitori al tempo ${\displaystyle t}$.

Il sistema evolve secondo la probabilità di transizione ${\displaystyle p_{ij}=P(X(t)=i|X(t-1)=j)}$ con

${\displaystyle p_{ij}=\left\lbrace {\begin{array}{ll}1-{\frac {i}{N}}&{\text{ se }}i=j+1\\{\frac {i}{N}}&{\text{ se }}i=j-1\\0&{\text{ altrimenti}}\end{array}}\right.}$

La distribuzione di probabilità all'equilibrio è ${\displaystyle \pi _{i}=2^{-N}{\binom {N}{i}}}$.

Corinna Ulcigrai e Krzysztof Frączek hanno dimostrato che il modello di Ehrenfest (windtree model) non è ergodico.^[1][2]

Note

1. (EN) Krzysztof Frączek e Corinna Ulcigrai, Non-ergodic $\mathbb{Z}$-periodic billiards and infinite translation surfaces, in Inventiones mathematicae, vol. 197, n. 2, 1º agosto 2014, pp. 241–298, DOI:10.1007/s00222-013-0482-z.
2. Krzysztof Frączek, Uniwersytetu Mikołaja Kopernika

Collegamenti esterni

• (EN) Ehrenfest model of diffusion, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.