Logica modale normale

Nella logica modale, una logica modale normale è un insieme L di formule modali tale che L contiene:

• tutte le proposizioni tautologiche;
• tutte le istanze dello schema di Kripke: ${\displaystyle \Box (A\to B)\to (\Box A\to \Box B)}$

e che è chiusa sotto la regola:

• del modus ponens: ${\displaystyle A\to B,A\vdash B}$;
• della necessitazione: ${\displaystyle \vdash A}$ implies ${\displaystyle \vdash \Box A}$.

Il più piccolo spazio logico che soddisfa le precedenti condizioni è chiamato K. Molte logiche modali usate dai contemporanei (soprattutto con finalità filosofiche) sono estensioni di K, quali ad esempio: S4 di C. I. Lewis e S5.

Ogni logica modale normale è regolare e quindi anche classica.

Logiche modali normali più diffuse

La tabella seguente elenca diversi sistemi modali normali di uso comune. La notazione si riferisce alla tabella della semantica di Kripke (Schema di assiomi modali comuni). Le condizioni per alcuni dei sistemi sono state semplificate: le logiche sono complete rispetto alle classi di condizioni riportate nella tabella, ma possono corrispondere a una classe più ampia.

Nome	Assiomi	Condizione di stato
K	—	tutti gli stati
T	T	riflessiva
K4	4	transitiva
S4	T, 4	preordine
S5	T, 5 or D, B, 4	relazione di equivalenza
S4.3	T, 4, H	preordine totale
S4.1	T, 4, M	preordine ${\displaystyle \forall w\,\exists u\,(w\,R\,u\land \forall v\,(u\,R\,v\Rightarrow u=v))}$
S4.2	T, 4, G	preordine diretto
GL, K4W	GL or 4, GL	ordine parziale finito in senso stretto
Grz, S4Grz	Grz or T, 4, Grz	ordine parziale
D	D	relazione seriale
D45	D, 4, 5	transitiva, seriale e euclidea

Bibliografia

• Alexander Chagrov and Michael Zakharyaschev, Modal Logic, vol. 35 of Oxford Logic Guides, Oxford University Press, 1997.