Burkhardt nacque a Schweinfurt. A partire dal 1879 studiò sotto Karl Weierstrass, Alexander von Brill e Hermann Amandus Schwarz a Monaco di Baviera (università e università tecnica), Berlino e Gottinga. Conseguì il dottorato nel 1886 a Monaco con Gustav Conrad Bauer con una tesi intitolata Beziehungen zwischen der invariantentheorie und der Theorie algebraischer Integrale und ihrer Umkehrungen (Relazione tra la teoria invariante e la teoria degli integrali algebrici e dei loro inversi).
Nel 1887 fu assistente professore a Gottinga e ottenne l'abilitazione nel 1889. Più tardi fu professore a Zurigo (1897-1908) e Monaco (da ottobre 1908).
