Figlio di un attore, prima di iniziare la sua carriera teatrale aveva tentato vari lavori e aveva partecipato come comparsa alle riprese di alcuni film. Solo in un secondo momento decise di iscriversi alla Reale Accademia d'arte drammatica e, unitosi alla compagnia teatrale di Ingmar Bergman, ottenne rapidamente visibilità. Parallelamente alla sua attività teatrale, sviluppò con Bergman una lunga e fruttuosa collaborazione girando con lui ben 22 film, da Piove sul nostro amore (1946) a Fanny e Alexander (1982), film che valse al regista svedese l'Oscar per il miglior film in lingua straniera. Forse il più versatile degli attori di Bergman, a suo agio sia nelle commedie come nei drammi, Björnstrand era solito interpretare personaggi perseguitati dal dubbio o dalla tentazione.
Björnstrand ha recitato anche in produzioni di altri registi svedesi quali Mai Zetterling, Gustaf Molander e Arne Mattsson, e lo ritroviamo curiosamente anche nel cast di un film italiano, Violenza al sole - Una estate in quattro , realizzato nel 1969 da Florestano Vancini. Sposato all'attrice e scrittrice Lillie Björnstrand, ebbe tre figlie, Kristina, Gabrielle e Veronica. Fu anche un attivista politico, schierato contro la guerra del Vietnam. Negli ultimi anni di vita, in conseguenza di un ictus, si limitò a piccoli ruoli in teatro e in televisione. Il ruolo interpretato per ultimo, in Fanny e Alexander, fu una vera e propria fatica per i vuoti di memoria di cui soffriva. Di religione cattolica, è sepolto nel cimitero di Solna.
