Funzione radiale di base

Due funzioni radiali di base gaussiane non normalizzate, nel caso unidimensionale. I centri hanno coordinate ${\textstyle x_{1}=0.75}$ e ${\textstyle x_{2}=3.25}$.

Una funzione radiale di base, o funzione di base radiale (in lingua inglese radial basis function, RBF) è una funzione a valori reali ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ il cui valore dipende unicamente dalla distanza fra l'argomento ${\displaystyle \mathbf {x} }$ della funzione e un punto prefissato ${\displaystyle \mathbf {c} }$ del dominio. Le funzioni per cui ${\displaystyle \mathbf {c} }$ corrisponde all'origine sono note come funzioni radiali.

Le funzioni radiali di base sono così chiamate perché una collezione di RBF può essere usata come base per l'approssimazione di una funzione arbitraria, motivo per il quale sono state introdotte nel 1988 da David Broomhead e David Lowe nella formulazione delle reti neurali a base radiale,^[1][2] che estende il lavoro seminale di Michael J. D. Powell nel 1977.^[3][4][5] Le funzioni radiali di base possono anche essere usate come kernel nelle macchine a vettori di supporto.^[6]

Approssimazione di funzione

Le funzioni di base radiale sono tipicamente usate per costruire approssimazioni di funzione nella forma

${\displaystyle y\left(\mathbf {x} \right)=\sum _{i=1}^{N}w_{i}\,\phi \left(\left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}\right\|\right),}$

dove l'approssimante ${\textstyle y\left(\mathbf {x} \right)}$ ha la forma di una somma di ${\displaystyle N}$ funzioni radiali di base, ciascuna associata ad un differente centro ${\textstyle \mathbf {x} _{i}}$ e pesata da un coefficiente ${\textstyle w_{i}}$. Nella costruzione dell'approssimazione, i pesi ${\textstyle w_{i}}$ possono essere stimati con il metodo dei minimi quadrati lineare. Tra le più comuni famiglie di funzioni radiali di base vi sono le gaussiane ${\displaystyle \phi \left(r\right)=e^{-\left(\varepsilon r\right)^{2}}}$, le multiquadric ${\displaystyle \phi \left(r\right)={\sqrt {1+\left(\varepsilon r\right)^{2}}}}$, le quadratiche inverse ${\displaystyle \phi \left(r\right)={\dfrac {1}{1+\left(\varepsilon r\right)^{2}}}}$, le multiquadric inverse ${\displaystyle \phi \left(r\right)={\dfrac {1}{\sqrt {1+\left(\varepsilon r\right)^{2}}}}}$, le spline poliarmoniche ${\displaystyle \phi \left(r\right)r^{k},k=1,3,5,\dotsc ;\,\phi \left(r\right)r^{k}\ln \left(r\right),k=2,4,6,\dotsc }$, e le thin plate spline ${\displaystyle \phi \left(r\right)=r^{2}\ln \left(r\right)}$ (indicando per comodità con ${\textstyle r=\left\|\mathbf {x} -\mathbf {x_{i}} \right\|}$).

Reti neurali a base radiale

La somma ${\displaystyle y\left(\mathbf {x} \right)=\sum _{i=1}^{N}w_{i}\,\phi \left(\left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}\right\|\right),}$ può essere interpretata come una rete neurale artificiale con un solo livello, chiamata rete neurale a base radiale, dove le funzioni radiali di base sono le funzioni di attivazione dei neuroni. Si dimostra che ogni funzione continua su supporto compatto può essere interpolata con precisione arbitraria tramite un approssimante in questa forma, per un valore di ${\displaystyle N}$ sufficientemente elevato. ${\displaystyle y\left(\mathbf {x} \right)}$ è differenziabile rispetto ai pesi ${\displaystyle w_{i}}$, che quindi possono essere appresi dal modello tramite metodi iterativi come la retropropagazione dell'errore. Un'approssimazione di questo tipo fornisce risultati ragionevoli a patto che le funzioni radiali di base ricoprano l'intero dominio.

Note

1. Radial Basis Function networks (archiviato dall'url originale il 23 aprile 2014).
2. David H. Broomhead e David Lowe, Multivariable Functional Interpolation and Adaptive Networks (PDF), in Complex Systems, vol. 2, 1988, pp. 321–355 (archiviato dall'url originale il 14 luglio 2014).
3. Michael J. D. Powell, Restart procedures for the conjugate gradient method (PDF), in Mathematical Programming, vol. 12, n. 1, Springer, 1977, pp. 241–254, DOI:10.1007/bf01593790.
4. Ferat Sahin, A Radial Basis Function Approach to a Color Image Classification Problem in a Real Time Industrial Application (PDF), Virginia Tech, 1997, p. 26. URL consultato l'8 luglio 2018 (archiviato dall'url originale il 26 ottobre 2015).
   
   «Radial basis functions were first introduced by Powell to solve the real multivariate interpolation problem.»
5. Broomhead Lowe, 1988, p. 347: "We would like to thank Professor M.J.D. Powell at the Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics at Cambridge University for providing the initial stimulus for this work."
6. Jake VanderPlas, Introduction to Support Vector Machines, su beta.oreilly.com, [O'Reilly], 6 maggio 2015. URL consultato il 14 maggio 2015 (archiviato dall'url originale il 5 settembre 2015).

Bibliografia

• Martin D. Buhmann, Radial Basis Functions: Theory and Implementations, Cambridge University Press, 2003, ISBN 978-0-521-63338-3.
• R.L. Hardy, Multiquadric equations of topography and other irregular surfaces, in Journal of Geophysical Research, vol. 76, n. 8, 1971, pp. 1905–1915, Bibcode:1971JGR....76.1905H, DOI:10.1029/jb076i008p01905.
• R.L. Hardy, Theory and applications of the multiquadric-biharmonic method, 20 years of Discovery, 1968 1988, in Comp. math Applic, vol. 19, n. 8/9, 1990, pp. 163–208, DOI:10.1016/0898-1221(90)90272-l.
• WH Press, SA Teukolsky, WT Vetterling e BP Flannery, Section 3.7.1. Radial Basis Function Interpolation, in Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, 3rd, New York, Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-88068-8. URL consultato l'8 luglio 2018 (archiviato dall'url originale l'11 marzo 2017).
• Sirayanone, S., 1988, Comparative studies of kriging, multiquadric-biharmonic, and other methods for solving mineral resource problems, PhD. Dissertation, Dept. of Earth Sciences, Iowa State University, Ames, Iowa.
• S. Sirayanone e R.L. Hardy, The Multiquadric-biharmonic Method as Used for Mineral Resources, Meteorological, and Other Applications, in Journal of Applied Sciences and Computations, vol. 1, 1995, pp. 437–475.