Funzione base

In matematica, una funzione base è un elemento di una particolare base di uno spazio funzionale.^[1] Ogni funzione in un tale spazio può essere rappresentata come combinazione lineare di funzioni base, proprio come ogni vettore in uno spazio vettoriale può essere rappresentato come una combinazione lineare di vettori base.

Nell'analisi numerica e nella teoria dell'approssimazione, le funzioni base sono anche chiamate funzioni di fusione, a causa del loro utilizzo nell'interpolazione: in questa applicazione, una mistura di funzioni base fornisce una funzione di interpolazione (con la "mistura" che dipende dalla valutazione delle funzioni base nei punti dati).

La base monomiale per lo spazio delle funzioni analitiche è data da:

${\displaystyle \{x^{n}\mid n\in \mathbb {N} \}.}$

Tale base viene utilizzata, fra le altre, nelle serie di Taylor.

La base monomiale costituisce anche una base per lo spazio dei polinomi. In effetti ogni polinomio può essere scritto come ${\displaystyle a_{0}+a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}}$ dato un certo ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ossia come combinazione lineare di monomi.

Seni e coseni formano una base di Schauder (ortonormale) per funzioni a quadrato sommabile su un dominio limitato. Come esempio particolare, la raccolta

${\displaystyle \{{\sqrt {2}}\sin(2\pi nx)\mid n\in \mathbb {N} \}\cup \{{\sqrt {2}}\cos(2\pi nx)\mid n\in \mathbb {N} \}\cup \{1\}}$ costituisce una base per L²[0,1] .

• Analisi di Fourier e serie di Fourier
• Analisi armonica
• Analisi funzionale
• Analisi numerica
• Base (di Hamel)
• Base di Schauder (in uno spazio di Banach)
• Base duale
• Funzioni di base radiale
• Polinomi ortogonali
• Teoria dell'approssimazione
• Wavelet ortogonali e biortogonali
• Metodo degli elementi finiti (basi)

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