Delta-algebra

In matematica, una δ-algebra (pronunciata delta-algebra) su di un insieme ${\displaystyle \Omega }$, è una famiglia di sottoinsiemi di ${\displaystyle \Omega }$ che sia chiusa rispetto all'operazione di intersezione al più numerabile e di passaggio al complementare.

Definizione

Sia ${\displaystyle \Omega }$ un insieme non vuoto, e sia ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ una famiglia di sottoinsiemi di ${\displaystyle \Omega }$ (ovverosia, un sottoinsieme dell'insieme delle parti di ${\displaystyle \Omega }$). Diremo che ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ è una δ-algebra su ${\displaystyle \Omega }$ se:

1. L'insieme vuoto ${\displaystyle \emptyset }$ appartiene ad ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$: ${\displaystyle \emptyset \in {\mathfrak {G}}}$.
2. Se un insieme ${\displaystyle A}$ è in ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$, allora il suo complementare è in ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$: ${\displaystyle A\in {\mathfrak {F}}\Rightarrow A^{c}\in {\mathfrak {G}}}$.
3. Se gli elementi ${\displaystyle A_{i}}$ di una famiglia numerabile di insiemi ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }}$ sono in ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$, allora la loro intersezione è in ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$: ${\displaystyle A_{i}\in {\mathfrak {G}},\forall i\in \mathbb {N} \Rightarrow \bigcap _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\in {\mathfrak {G}}}$.

Equivalenza tra δ e σ-algebre

Si dimostra che il concetto di δ-algebra coincide con il concetto di σ-algebra. Infatti, sia ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ una δ-algebra su X. Per essere una σ-algebra deve essere chiusa rispetto al complementare e rispetto all'unione al più numerabile. La prima condizione è già soddisfatta, per la seconda. Sia ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }}$ una famiglia al più numerabile di insiemi della δ-algebra:

${\displaystyle \bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}=\left[\bigcap _{i\in \mathbb {N} }A_{i}^{C}\right]^{C}}$

avendo usato il teorema di De Morgan. Ora ${\displaystyle A_{i}^{C}}$ appartengono alla δ-algebra perché essa è chiusa rispetto al complementare. Essa è chiusa anche rispetto all'intersezione. Si conclude che è chiusa anche rispetto all'unione al più numerabile.