Cuore normale

Nella teoria dei gruppi il cuore normale (talvolta chiamato nocciolo) di un sottogruppo ${\displaystyle H\leq G}$, indicato generalmente con ${\displaystyle H_{G}}$ è il nucleo dell'azione di gruppi ${\displaystyle \sigma :G\rightarrow S_{\Omega }}$ con ${\displaystyle \sigma (g):=\sigma _{g}:\Omega \rightarrow \Omega }$ dove ${\displaystyle \Omega =\{gH\subseteq G:g\in G\}}$ definita da ${\displaystyle \sigma _{g}(xH):=gxH}$.^[1]

Proprietà

Si osserva che lo stabilizzatore di questa applicazione di gruppi è ${\displaystyle {\text{Stab}}_{G}(xH)=\{g\in G:gxH=xH\}=\{g\in G:x^{-1}gxH=H\}=\{g\in G:x^{-1}gx\in H\}=\{g\in xHx^{-1}\}=xHx^{-1}}$. Da questo deriva che ${\displaystyle H_{G}={\text{ker}}(\sigma )=\bigcap _{x\in G}xHx^{-1}}$.

Alcuni notevoli proprietà del cuore normale sono le seguenti:

• ${\displaystyle H_{G}\trianglelefteq G}$ cioè il cuore normale di un sottogruppo di ${\displaystyle G}$ è sempre un sottogruppo normale di ${\displaystyle G}$. Si vede immediatamente essendo ${\displaystyle {\text{ker}}(\phi )\trianglelefteq G}$ per ogni ${\displaystyle \phi }$ omomorfismo.
• ${\displaystyle H_{G}\leq H}$ ed è il più grande sottogruppo normale a ${\displaystyle G}$ contenuto in ${\displaystyle H}$: ovvero se ${\displaystyle N\trianglelefteq G}$ e ${\displaystyle N\leq H}$ implica ${\displaystyle N\leq H_{G}}$. Infatti banalmente ${\displaystyle H_{G}\leq {\text{stab}}_{G}(H)=H}$. Inoltre sia ${\displaystyle N\trianglelefteq G}$ con ${\displaystyle N\leq H}$. Dato ${\displaystyle g\in G}$ vale ${\displaystyle gNg^{-1}\leq gHg^{-1}}$ essendo ${\displaystyle N}$ normale questo è equivalente a ${\displaystyle N\leq gHg^{-1}}$ per ogni ${\displaystyle g\in G}$ quindi ${\displaystyle N\leq \bigcap _{g\in G}gHg^{-1}=H_{G}}$.
• Posto ${\displaystyle m}$ l'indice di ${\displaystyle H_{G}}$ in ${\displaystyle G}$, cioè ${\displaystyle m=[G:H_{G}]}$ e ${\displaystyle n=[G:H]}$ vale la relazione ${\displaystyle m|n!}$. Infatti per il primo teorema di isomorfismo si ha che ${\displaystyle G/H_{G}=G/{\text{ker}}(\sigma )\cong \sigma (G)\leq S_{\Omega }}$ da cui per il teorema di Lagrange ${\displaystyle [G:H_{G}]||S_{\Omega }|}$ ma la cardinalità di ${\displaystyle \Omega }$ è esattamente uguale al numero di classi laterali di ${\displaystyle H}$, cioè ${\displaystyle n}$, e quindi ${\displaystyle |S_{\Omega }|=n!}$.

Conseguenze

Un importante risultato che si può dedurre dalle proprietà elencate è il seguente:

Sia ${\displaystyle G}$ un gruppo finito e sia ${\displaystyle p}$ il più piccolo numero primo che divide l'ordine di ${\displaystyle G}$. Allora se esiste ${\displaystyle H\leq G}$ tale che ${\displaystyle [G:H]=p}$ si ha ${\displaystyle H\trianglelefteq G}$.

Si ha infatti ${\displaystyle [G:H_{G}]|p!}$ ed essendo ${\displaystyle [G:H_{G}]=[G:H][H:H_{G}]}$ vale ${\displaystyle [H:H_{G}]|(p-1)!}$. Ma allora ${\displaystyle [H:H_{G}]}$ divide ${\displaystyle |G|}$ e ${\displaystyle (p-1)!}$ coprimi tra loro (per minimalità di ${\displaystyle p}$ primo come divisore di ${\displaystyle |G|}$), quindi necessariamente ${\displaystyle [H:H_{G}]=1}$ ovvero ${\displaystyle H=H_{G}\trianglelefteq G}$.

Teoria di Galois

Il cuore normale gioca anche un ruolo importane in teoria di Galois: dati infatti ${\displaystyle \Omega /K}$ estensione di Galois e ${\displaystyle L}$ campo intermedio ${\displaystyle K\leq L\leq \Omega }$; sia inoltre ${\displaystyle {\hat {L}}}$ la chiusura normale di ${\displaystyle L}$. Una conseguenza del teorema fondamentale della teoria di Galois, ponendo ${\displaystyle G_{L}=:H\leq G:={\text{Gal}}(\Omega /K)}$ vale la relazione ${\displaystyle G_{\hat {L}}=H_{G}}$, dove ${\displaystyle H_{G}}$ è il cuore normale di ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle G}$. Questo è vero perché per definizione ${\displaystyle {\hat {L}}}$ è la più piccola estensione normale di ${\displaystyle L}$, e per corrispondenza di Galois questo induce, attraverso l'antisomorfismo di reticoli, che ${\displaystyle G_{\hat {L}}}$ è il più grande sottogruppo normale di ${\displaystyle G_{L}}$, ovvero che è appunto il suo cuore normale.

Note

1. Derek J. S. Robinson, An introduction to Abstract Algebra.