Cono (algebra lineare)

In algebra lineare, un cono è un sottoinsieme C di uno spazio vettoriale V chiuso rispetto alla moltiplicazione per scalari positivi, cioè

${\displaystyle v\in C,\lambda >0\Rightarrow \lambda v\in C}$

Perché questa definizione abbia senso è dunque necessario che nel campo degli scalari sia definito un concetto di "positività", dunque di campo ordinato (come possono essere tipicamente i numeri reali, ma anche i numeri razionali o quelli algebrici).

In modo più compatto, usando la notazione ${\displaystyle \lambda C=\{\lambda v:v\in C\}}$, un cono è determinato dalla proprietà ${\displaystyle C=\lambda C}$.

Proprietà

I coni sono chiusi rispetto all'unione, l'intersezione e il passaggio al complementare. Inoltre l'immagine di un cono attraverso una applicazione lineare è ancora un cono e l'insieme "somma"

${\displaystyle C+D=\{v+w:v\in C,w\in D\}}$

è ancora un cono, così come gli insiemi ${\displaystyle \lambda C}$ (anche per scalari negativi) e di conseguenza ${\displaystyle -C}$.

Cono di un insieme

L'insieme azzurro è un cono convesso. L'insieme in viola corrisponde al cono convesso generato da x e y

Il cono di un insieme X è dato dalla chiusura di X rispetto alla operazione che definisce un cono, cioè è l'insieme che contiene i vettori di X e tutti i loro multipli positivi. Con una notazione sintetica analoga a prima, se ${\displaystyle X=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$ e il campo è quello reale, il cono generato da X è dato da ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}x_{1}\cup \ldots \cup \mathbb {R} ^{+}x_{n}}$.

Terminologia

Un cono si dice puntato se contiene l'origine e non contiene nessuna coppia di vettori opposti, cioè ${\displaystyle C\cap -C=\{0\}}$.

Un cono C si dice convesso se

${\displaystyle \lambda v+\mu w\in C}$

per ogni v,w in C e per ogni coppia di scalari ${\displaystyle \lambda ,\mu >0}$ (o equivalentemente, se ${\displaystyle \lambda C+\mu C=C}$). Evidentemente, un cono convesso è un insieme convesso e la "somma" di due coni ${\displaystyle C+D}$ corrisponde al cono convesso generato dalla loro unione.

Ogni sottospazio vettoriale di V è un cono convesso.

Voci correlate

• Funzione omogenea

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Cono, su MathWorld, Wolfram Research.