Ciononostante, il vincolo sul parallelismo permette di considerare la definizione data equivalente alla seguente:
Vengono dette antisimmetrie quelle isometrie del piano euclideo che si ottengono componendo una traslazione con una simmetria assiale avente l'asse parallelo alla direzione di
Detto in altre parole, se una simmetria assiale ed una traslazione hanno rispettivamente l'asse e la direzione paralleli, allora commutano.
Infatti, l'effetto di una simmetria assiale su un qualsiasi punto del piano è sempre una traslazione di direzione perpendicolare all'asse di e di modulo , dove è la distanza del punto dall'asse di . Quando si va a comporre con una traslazione di direzione perpendicolare all'asse di , non cambia; aggiungendo che la composizione di traslazioni è commutativa, si ha che, per ogni punto , ovvero o=o. In sostanza, si può associare ogni punto con un rettangolo: l'antitraslazione è la diagonale, se si compone simmetria e traslazione in un senso si fa percorrere al punto lati adiacenti, se si inverte l'ordine di composizione gli si fa percorrere gli altri due lati.
Si può dimostrare, inoltre, che questo è il solo caso in cui una traslazione e una simmetria assiale commutano. È anche per questo motivo che le antitraslazioni sono solitamente considerate una classe particolarmente interessante delle isometrie del piano.
Osservazioni
Una simmetria assiale può essere considerata come un caso particolare di antitraslazione, in cui la componente della traslazione ha modulo 0 (è l'identità).
