Algebra supercommutativa

In matematica e in fisica teorica un'algebra supercommutativa è una superalgebra (cioè una algebra ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-graduata) in cui vale una proprietà di commutazione che dipende dalla gradazione degli elementi.

Definizione

Una superalgebra${\displaystyle A}$ è un'algebra supercommutativa se per ogni coppia ${\displaystyle x,y\in A}$ di elementi omogenei si ha:

${\displaystyle yx=(-1)^{|x||y|}xy,}$

dove con ${\displaystyle |x|}$ e ${\displaystyle |y|}$ si indicano le gradazioni rispettivamente di ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y.}$ In maniera equivalente, si tratta di una superalgebra in cui il supercommutatore

${\displaystyle [x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx}$

è sempre nullo.

La gradazione ${\displaystyle |x|}$ vale 0 per gli operatori bosonici chiamati anche elementi pari, vale invece 1 per gli operatori fermionici chiamati anche elementi dispari^[1].

Ogni algebra commutativa (ossia ogni algebra degli operatori bosonici) è un'algebra supercommutativa se ha la gradazione banale (cioè se tutti gli elementi sono pari). Le algebre di Grassmann sono i più comuni esempi di algebre supercommutative banali. Il supercentro di qualsiasi superalgebra^[2] è l'insieme di elementi che supercommutano con tutti gli elementi, ed è un'algebra supercommutativa^[3].

Note

1. Introducing supersymmetry, M. F. Sohnius, 1985
2. Vedere centro di un gruppo
3. Kac, Martinez & Zelmanov (2001).

Bibliografia

• Bourbaki, Nicolas (1974) Algebra I (Chapters 1-3), ISBN 978-3-540-64243-5, Chapter 3, Section 3.
• (EN) D.V. Volkov, V.P. Akulov, Pisma Zh.Eksp.Teor.Fiz. 16 (1972) 621; Phys. Lett. B46 (1973) 109.
• (EN) V.P. Akulov, D.V. Volkov, Teor.Mat.Fiz. 18 (1974) 39.

Voci correlate

• Algebra di Lie graduata
• Algebra astratta
• Algebra supersimmetrica
• Algebra graduata
• Algebra di Super-Poincaré
• Anello commutativo
• Ideale (matematica)