In matematica, l'algebra simmetrica su uno spazio vettoriale V su un campo K è una particolare K-algebra commutativa; può essere vista come una rappresentazione dell'anello dei polinomi in K, con indeterminate corrispondenti agli elementi della base di V, senza una scelta delle coordinate.
È denotata con o .
Costruzione
L'algebra simmetrica può essere definita a partire dall'algebra tensoriale , "forzando" gli elementi di ad essere commutativi in : più precisamente, può essere definita come l'anello quoziente di rispetto all'ideale generato dagli elementi
- ,
al variare di e in .
L'applicazione può essere estesa ad un funtore tra la categoria dei -spazi vettoriali e quella delle -algebre.
Proprietà
Struttura graduata
L'algebra simmetrica può essere vista come un'algebra graduata: l'insieme degli elementi omogenei di grado k è lo spazio vettoriale generato dai monomi di grado k negli elementi di ; alternativamente, può essere visto come il quoziente di rispetto all'ideale , dove è l'ideale generato in dagli elementi .
Lo spazio è chiamato la potenza simmetrica k-esima di ; la sua dimensione è pari a
- ,
dove n è la dimensione di su . Così come , anche ogni applicazione può essere estesa ad un funtore.
Ad esempio, è sempre isomorfo a , mentre è sempre isomorfo a .
Anello dei polinomi
Se è una base di , allora si può definire un isomorfismo di algebre tra e l'anello dei polinomi in n indeterminate, mandando in .
In particolare, questo mostra come l'anello dei polinomi possa essere pensato come un'algebra simmetrica su cui è stato scelto un sistema di coordinate (la base ) e, viceversa, possa essere pensato come una versione senza coordinate di .
Da questo segue anche che l'anello dei polinomi è isomorfo in modo canonico all'algebra simmetrica del duale di .
Voci correlate
Collegamenti esterni