Algebra di divisione

In matematica, in particolare nell'ambito dell'algebra astratta, un'algebra di divisione è un'algebra in cui l'operazione di divisione è, in un certo senso, possibile.

Definizione

Sia ${\displaystyle D}$ un'algebra su un campo tale da non consistere del solo elemento nullo. Se per ogni elemento ${\displaystyle a}$ ed ogni altro elemento non-nullo b di ${\displaystyle D}$ esiste esattamente un elemento ${\displaystyle x}$ di ${\displaystyle D}$ tale che ${\displaystyle a=bx}$, ed esattamente un elemento ${\displaystyle y}$ di ${\displaystyle D}$ tale che ${\displaystyle a=yb}$, allora ${\displaystyle D}$ è un'algebra di divisione.

Per algebre associative, la definizione può essere semplificata: un'algebra associativa su un campo è un'algebra di divisione se e solo se possiede un'identità moltiplicativa diversa dall'elemento nullo ed ogni elemento non nullo ammette un inverso moltiplicativo (ossia per ogni ${\displaystyle a}$ dell'algebra esiste un ${\displaystyle x}$ tale che ${\displaystyle ax=xa=1}$, ove ${\displaystyle 1}$ è l'identità moltiplicativa dell'algebra).

Esempi

Uno degli esempi più semplici di algebra di divisione associativa è costituito dall'algebra dei numeri reali ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Salendo di dimensione si trova l'algebra reale dei numeri complessi ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Per il teorema di Gelfand-Mazur, ogni algebra di Banach che sia anche un'algebra di divisione è isomorfa a ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

I quaternioni ${\displaystyle \mathbb {H} }$ sono un esempio di algebra di divisione non commutativa sui reali.

Voci correlate

• Divisione (matematica)
• Anello di divisione

Collegamenti esterni

• algebra di divisione, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Algebra di divisione, su MathWorld, Wolfram Research.