Teras (aljabar linear)

Dalam aljabar linear, teras (juga disebut dengan trace), dari matriks persegi didefinisikan sebagai jumlah dari setiap elemen pada diagonal utama matriks tersebut. Notasi yang digunakan untuk mewakili teras dari matriks A adalah tr(A).

Nilai teras juga sama dengan jumlah nilai eigen (kompleks) berserta kelipatannya dari matriks tersebut; dan tidak bergantung pada basis yang dipakai. Sifat ini dapat digunakan untuk mendefinisikan teras dari operator linear secara umum. Nilai teras hanya terdefinisi untuk matriks persegi (matriks berukuran n × n).

Nilai teras suatu matriks juga berhubungan dengan turunan dari determinan (lihat rumus Jacobi)

Definisi

Teras dari matriks persegi ${\displaystyle A}$ berukuran n × n didefinisikan sebagai^[1][2]:34

${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}}$

Dengan a_ii menandakan elemen baris ke-i dan kolom ke-i dari matriks ${\displaystyle A}$.

Contoh

Sebagai contoh, misal ${\displaystyle A}$ adalah matriks berukuran 3 × 3 dengan elemen-elemen

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&3\\11&5&2\\6&12&-5\end{pmatrix}}}$

Maka, teras dari matriks ${\displaystyle A}$ adalah

${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{3}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+a_{33}=1+5+(-5)=1}$

Sifat

Sifat-sifat dasar

Teras adalah sebuah pemetaan linear. Dengan kata lain,^[3][1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} (A+B)&=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)\\\operatorname {tr} (cA)&=c\operatorname {tr} (A)\end{aligned}}}$

untuk sebarang matriks persegi ${\displaystyle A}$ dan ${\displaystyle B}$, dan untuk sebarang skalar ${\displaystyle c}$.^[2]:34

Nilai teras dari matriks sama dengan nilai teras transposnya:^[3][1][2]:34

${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} \left(A^{\mathsf {T}}\right).}$

Hal tersebut terlihat dari fakta operasi transpos tidak mempengaruhi elemen-elemen pada diagonal utama.

Hasil perkalian matriks

Teras sebuah matriks persegi yang didapatkan dari hasil perkalian dua matriks, dapat dituliskan sebagai penjumlahan semua perkalian elemen yang bersesuaian lokasi pada kedua matriks. Dalam bahasa yang lebih formal, jika ${\displaystyle A}$ dan ${\displaystyle B}$ adalah matriks berukuran m × n, maka:

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right)=\sum _{i,j}a_{ij}b_{ij}.}$

Hal ini menandakan bahwa teras dari perkalian dua matriks berukuran sama memiliki fungsi yang serupa dengan hasil kali titik vektor. Analogi perkalian titik untuk keadaan ini adalah membayangkan matriks sebagai vektor kolom yang panjang (dibuat dengan menumpuk kolom-kolom matriks diatas yang lainnya). Sifat ini juga menjadi alasan teras sering digunakan dalam perumuman operasi vektor ke matriks (misal pada ilmu kalkulus matriks dan statistika).

Untuk matriks riil ${\displaystyle A}$ dan ${\displaystyle B}$, teras dari perkalian kedua matriks tersebut dapat ditulis dalam bentuk berikut:

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \right)=\sum _{i,j}(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} )_{ij}}$	(menggunakan hasil kali Hadamard, juga dikenal sebagai perkalian elemen-demi-elemen).
${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \right)=\operatorname {vec} (\mathbf {B} )^{\mathsf {T}}\operatorname {vec} (\mathbf {A} )=\operatorname {vec} (\mathbf {A} )^{\mathsf {T}}\operatorname {vec} (\mathbf {B} )}$	(menggunakan operator vectorization).

Urutan perkalian matriks dapat ditukar tanpa mengubah nilai terasnya: jika matriks ${\displaystyle A}$ berukuran m × n dan matriks ${\displaystyle B}$ berukuran n × m, maka ^{[1][2]:34[note 1]}

Teras eksponensial

Ekspresi seperti ${\displaystyle {\text{tr}}({\text{exp}}(A))}$, dengan ${\displaystyle A}$ adalah matriks persegi, sering muncul dalam beberapa bidang keilmuan (seperti teori statistik multivariat), sehingga terdapat notasi umum yang lebih singkat:

${\displaystyle \operatorname {tre} (A):=\operatorname {tr} (\exp(A)).}$

Fungsi tre terkadang disebut sebagai fungsi teras eksponensial, dan digunakan dalam ketidaksamaan Golden–Thompson.

Teras dari operator linear

Secara umum, untuk pemetaan linear f : V → V (dengan V adalah ruang vektor dimensi hingga), nilai teras dari pemetaan dapat didefinisikan dengan mempertimbangkan nilai teras dari representasi matriks dari f. Dengan kata lain, memilih basis bagi V dan menyatakan f sebagai matriks terhadap basis tersebut, lalu menghitung teras dari matriksnya. Hasil metode ini tidak bergantung pada basis yang dipilih, karena setiap basis merupakan matriks similar (akibat matriks perubahan basis); dan memungkinkan definisi teras dari operator linear yang tidak bergantung pada basis.

Hubungan dengan nilai eigen

Jika ${\displaystyle A}$ adalah operator linear yang diwakili oleh matriks persegi dengan elemen bilangan real atau bilangan kompleks, dan λ₁, …, λ_n adalah nilai eigen dari ${\displaystyle A}$ (diurutkan berdasarkan kelipatan algebraic-nya), maka

${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i}\lambda _{i}}$

Hal ini disebabkan karena ${\displaystyle A}$ selalu similar dengan bentuk Jordan-nya, yakni sebuah matriks segitiga dengan λ₁, …, λ_n berada pada diagonal utamanya. Di sisi lain, determinan dari ${\displaystyle A}$ adalah hasil perkalian dari nilai-nilai eigennya. Dengan kata lain,

${\displaystyle \det(\mathbf {A} )=\prod _{i}\lambda _{i}.}$

Dalam bentuk yang lebih umum,

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{k}\right)=\sum _{i}\lambda _{i}^{k}.}$

Kegunaan

Teras dari matriks kompleks ukuran 2 × 2 digunakan untuk mengelompokkan transformasi Möbius. Hasil ini dilakukan pertama dengan menormalisasi matriks sehingga determinannya bernilai 1. Selanjutnya, jika kuadrat dari teras bernilai 4, maka transformasi yang bersangkutan bertipe parabolic. Jika nilai kuadrat dari teras berada pada selang [0,4), maka ia bertipe elliptic. Sedangkan jika nilai kuadrat dari teras lebih besar dari 4, transformasi bertipe loxodromic. Detail mengenai ini ada pada pengelompokan transformasi Möbius.

Hasil kali dalam

Untuk matriks ${\displaystyle A}$ berukuran m × n dengan elemen bilangan real (atau bilangan kompleks), dan ^H menyatakan transpos konjugat kita memiliki

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(A^{\mathsf {H}}A\right)\geq 0}$

Dengan kesamaan berlaku jika dan hanya jika ${\displaystyle A}$ adalah matriks nol.^[4]:7

Catatan kaki dan referensi

Catatan kaki

1. Sifat berikut dapat dibuktikan langsung melalui definisi dari perkalian matriks: $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\sum _{i=1}^{m}\left(\mathbf {A} \mathbf {B} \right)_{ii}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m}b_{ji}a_{ij}=\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {B} \mathbf {A} \right)_{jj}=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} )}$$.

Referensi

1. Weisstein, Eric W. "Matrix Trace". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-09-09. 
2. Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (September 2005). Schaum's Outline of Theory and Problems of Linear Algebra. McGraw-Hill. ISBN 9780070605022. 
3. "Rank, trace, determinant, transpose, and inverse of matrices" Diarsipkan 2019-07-01 di Wayback Machine.. . fourier.eng.hmc.edu. Diakses tanggal 2020-09-09.
4. Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis (edisi ke-2nd). Cambridge University Press. ISBN 9780521839402.