Միջին հարմոնիկ

Միջին հարմոնիկ-միջոց է որոշակի թվերի հավաքածուի «միջին» մեծությունը հասկանալու համար։ Հաճախ օգտագործվում է միջին արագությունը որոշելիս։ Այն կարելի է սահմանել հետևյալ կերպ․ դիցուք տրված են դրական ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ թվերը, ապա նրանց միջին հարմոնիկը կլինի այն ${\displaystyle H}$ թիվը, որը

${\displaystyle {\frac {n}{H}}={\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}$.

Կարելի է ստանալ միջին հարմոնիկի համար իրական բանաձև․

${\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}}$,

այսինքն միջին հարմոնիկը ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ թվերի հակադարձների միջինի հակադարձ մեծությունն է։

Հատկությունները

• Միջին հարմոնիկը իսկապես հանդիսանում է միջին այն իմաստով, որ ${\displaystyle \min(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant H(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant \max(x_{1},\ldots ,x_{n})}$։
• Ընդհանրապես միջին հարմոնիկը միջին աստիճանային է -1 աստիճանով։
• Միջին հարմոնիկը երկակի է միջին թվաբանականին հետևյալ իմաստով․

${\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})=A^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})}$ и

${\displaystyle A(x_{1},\ldots ,x_{n})=H^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})}$ (երբ վերջինս որոշված է)։

• Միջին հարմոնիկը չի գերազանցում միջին երկրաչափականին, միջին թվաբանականին և միջին քառակուսայինին, ընդ որում․ բոլոր միջինները հավասար են բոլոր ${\displaystyle x_{1}=\ldots =x_{n},}$ թվերի հավասարության դեպքում, այսինքն․

${\displaystyle H\leq G\leq A\leq S,}$

որտեղ ${\displaystyle H}$ — միջին հարմոնիկն է;

${\displaystyle G}$ — միջին երկրաչափականն է;

${\displaystyle A}$ — միջին թվաբանականն է;

${\displaystyle S}$ — միջին քառակուսայինն է։

Կշռված միջին հարմոնիկ

Դիցուք տրված է ոչ բացասական թվերի ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ համախումբը և ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$ թվերի համախումբը, որտեղ ${\displaystyle w_{i}}$-ն կոչվում է ${\displaystyle x_{i}}$ մեծության «զանգված»։ Ապա նրանց կշռված միջին հարմոնիկ է կոչվում հետևյալ թիվը․

${\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n};w_{1},\ldots ,w_{n})={\frac {w_{1}+\ldots +w_{n}}{{\frac {w_{1}}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {w_{n}}{x_{n}}}}}}$։

Հեշտ է նկատել, որ երբ ${\displaystyle w_{1}=\ldots =w_{n}\neq 0}$(երբ բոլորը հավասարամեծ են)ստացվումէ սովորական միջին հարմոնիկ։

У սեղանի անկյունագծերի հատման կետով անցնող հատվածը զուգահեռ է հիմքերին, և հավասար է նրանց միջին հարմոնիկին^[1]

։

Ներկված շրջանների տրամագծերը նույնն են(կոչվում են երկվորյակ շրջաններ) և հավասար են AB և BC հատվածների վրա կառուցված կիսաշրջանագծերի շառավիղների միջին հարմոնիկին

։

Օրինակներ

Վիճակագրության մեջ միջին հարմոնիկը օգտագործվում է այն դեպքում, երբ դիտարկումները, որոնց համար անհրաժեշտ է թվաբանական միջինի հաշվում ձեռք , տրվում են հակադարձ արժեքներով։

Բարակ ոսպնյակի բանաձևում երկու անգամ կիզակետային երկարությունը հավասար է ոսպնյակներից մինչև առարկայի հեռավորության ը և ոսպնյակներից մինչև պատկերի հեռավորության միջին հարմոնիկին։ Նմանատիպ եղանակով, միջին հարմոնիկը ներառված է գնդաձև հայելու համար բանաձևում։ Միջին արագությունը մի ճանապարհի վրա, որը բաժանված է հավասար մասերի, որոնցից յուրաքանչյուրի վրա արագությունը կայուն է, հավասար է ուղու այդ հատվածների արագությունների նմիջին հարմոնիկին։ Ընդհանուր առմամբ, եթե ուղին բաժանվում է մասերի, որոնցից յուրաքանչյուրի վրա արագությունը կայուն է, ապա միջին արագությունը հավասար կլինի կշռված միջին հարմոնիկ արագությանը (յուրաքանչյուր արագություն գալիս է համապատասխան քաշի երկարությանը հավասար քաշով)։ Ալյումինի միջին խտությունը հավասար է ձուլված նյութերի կշռված միջին հարմոնիկ խտությանը (կշիռներ - համապատասխան նյութերի մասերի զանգվածներ)։ Զուգահեռ միացված են մի քանի դիմադրիչների ձեռք բերած դիմադրությունը հավասար է դրանց դիմադրությունների միջին հարմոնիկին՝ բաժանված ըստ դրանց քանակի։ Նմանատիպ հայտարարությունը ճշմարիտ է շարքի միացված կոնդենսատորների համար։

Տես նաև

• Հարմոնիկ համամասնություն
• Հարմոնիկ շարք
• Միջին թվաբանական

Արտաքին հղումներ

• Weisstein, Eric W. Harmonic Mean / MathWorld—A Wolfram Web Resource

Ծանոթագրություններ

1. Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Матезис, 1923. — С. 65.