Մեկ փոփոխականի քառակուսային ֆունկցիա

${\displaystyle f(x)=x^{2}-x-2}$ ֆունկցիայի գրաֆիկ

Քառակուսային ֆունկցիա, երկրորդ աստիճանի ամբողջ ռացիոնալ ֆունկցիա։ ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ հավասարումը քառակուսային ֆունկցիա է և պարունակում է քառակուսի եռանդամ, որտեղ ${\displaystyle a\neq 0}$ և ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$ ։ Քառակուսային ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլ է։ Քառակուսային ֆունկցիայի շատ հատկություններ կապված են պարաբոլի գագաթի հետ, որը որոշում է գրաֆիկի դիրքը և տեսքը։

Հիմնական հատկություններ

Քառակուսային ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ ֆունկցիայի շատ հատկություններ կախված են ${\displaystyle a}$ գործակցի արժեքից։ Հետևյալ աղյուսակը ամփոփում է քառակուսի ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները^[1]։

Հատկություն	${\displaystyle a>0}$	${\displaystyle a<0}$
Ֆունկցիայի որոշման տիրույթ	${\displaystyle D(f)=\mathbb {R} }$
Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթ	${\displaystyle E(f)=\left[-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}};+\infty \right)}$	${\displaystyle E(f)=\left(-\infty ;-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right]}$
Ֆունկցիայի զույգությունը	Զույգ է ${\displaystyle b=0}$ դեպքում, կենտ է ${\displaystyle b\neq 0}$ դեպքում
Ֆունկցիայի պարբերականությունը	Ոչ պարբերական ֆունկցիա
Ֆունկցիայի անընդհատությունը	Անընդհատ է, խզման կետեր չկան
Ֆունկցիայի զրոները	${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}}$, եթե ${\displaystyle D=b^{2}-4ac\geq 0}$իրական զրոներ չկան, եթե ${\displaystyle D=b^{2}-4ac<0}$
Ֆունկցիայի սահմանը ${\displaystyle x\to \pm \infty }$ դեպքում	${\displaystyle f(x)\to +\infty }$ , ${\displaystyle x\to \pm \infty }$ դեպքում	${\displaystyle f(x)\to -\infty }$, ${\displaystyle x\to \pm \infty }$ դեպքում
Ֆունկցիայի դիֆերենցելիություն	Ամենուր բազմակի դիֆերենցելի է${\displaystyle f'(x)=2ax+b,f''(x)=2a,f'''(x)=0}$
Էքստրեմումի կետերը (բացարջակ էքստրեմում)	${\displaystyle x_{min}={\frac {-b}{2a}}}$ (մինիմում)	${\displaystyle x_{max}={\frac {-b}{2a}}}$ (մաքսիմում)
Խիստ մոնոտոնության միջակայքերը	նվազում է ${\displaystyle \left(-\infty ;-{\frac {b}{2a}}\right]}$աճում է ${\displaystyle \left[-{\frac {b}{2a}};+\infty \right)}$	աճում է ${\displaystyle \left(-\infty ;-{\frac {b}{2a}}\right]}$նվազում է ${\displaystyle \left[-{\frac {b}{2a}};+\infty \right)}$
Ֆունկցիայի ուռուցիկությունը	Ամենուրեք գոգավոր ֆունկցիա	Ամենուրեք ուռուցիկ ֆունկցիա
Ճկման կետ	Ճկման կետերը բցակայում են
Ֆունկցիայի սահմանափակումները	Սահմանափակ ներքևից	Սահմանափակ վերևից
Ֆունկցիայի առավելագույն արժեքը	Բացակայում է	${\displaystyle y_{max}=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}}$
Ֆունկցիայի նվազագույն արժեքը	${\displaystyle y_{min}=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}}$	Բացակայում է
Ֆունկցիայի դրական արժեքները	${\displaystyle (-\infty ;x_{1})\cup (x_{2};+\infty )}$	${\displaystyle (x_{1};x_{2})}$
Ֆունկցիայի բացասական արժեքները	${\displaystyle (x_{1};x_{2})}$	${\displaystyle (-\infty ;x_{1})\cup (x_{2};+\infty )}$

Գործակիցների ազդեցությունը գրաֆիկի ձևափոխության վրա

Քառակուսյին ֆունկցիայի գրառման ստանդարտ ձև

${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ իրական թվերը քառակուսի ֆունկցիայի ընդհանուր արձանագրման մեջ կոչվում են նրա գործակիցներ։ Այս դեպքում a գործակիցը ընդունված է անվանել ավագ, իսկ c գործակիցը՝ ազատ։ Յուրաքանչյուր գործակցի փոփոխությունը հանգեցնում է պարաբոլի որոշակի փոխակերպումների։

a գործակցի արժեքով կարելի է դատել այն մասին, թե որ ուղղությամբ են ուղղված նրա ճյուղերը (վեր կամ վար) և գնահատել դրա ձգման կամ սեղմման աստիճանը օրդինատների առանցքի նկատմամբ։

Եթե ${\displaystyle a>0}$, ապա պարաբոլի ճյուղերը ուղղված են դեպի վեր, այսինքն, նրա գագաթը գտնվում է ներքևում։

Եթե ${\displaystyle a<0}$, ապա պարաբոլի ճյուղերը ուղղված են ներքև, այսինքն, նրա գագաթը գտնվում է վերևում։

Եթե ${\displaystyle |a|<1}$, ապա պարաբոլը սեղմվում է օրդինատների առանցքի վրա, այսինքն, կարծես ավելիկ այն է և հարթ։

Եթե ${\displaystyle |a|>1}$, ապա պարաբոլը ձգվել է օրդինատների առանցքի վրա, այսինքն, կարծես ավելի նեղ է և կտրուկ։

a գործակցի արժեքի ազդեցությունը առավել պարզապես թույլ է տալիս ցույց պատկերացնել ֆունկցիայի տեսքը կախված գործակցի արժեքից, այսինքն, այն դեպքում, երբ b=0 և C=0, ապա${\displaystyle f(x)=ax^{2}}$։ Այն դեպքում, երբ ${\displaystyle a=0}$ քառակուսի ֆունկցիան վերածվում է գծայինի։

c գործակիցը բնութագրում է պարաբոլայի զուգահեռ տեղափոխությունը օրդինատների առանցքի նկատմամբ (այսինքն՝ վեր կամ վար)։ Այս գործակցի արժեքը 1-ով բարձրացնելու դեպքում գրաֆիկը տեղափոխում է 1-ով։ Համապատասխանաբար, եթե դուք նվազեցնել գործակիցը պարաբոլը կտեղափոխվի ներքև։ Քանի որ, ${\displaystyle b}$ գործակիցը նույնպես ազդում է պարաբոլայի վերին դիրքի վրա, ապա միայն c գործակցի արժեքից չի կարելի դատել այն մասին, թե արդյոք գագաթը գտնվում է աբսցիսների առանցքից բարձր կամ ցածր։

Ցանկացած ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ տեսքի քառակուսային ֆունկցիայի ձևափոխումը ${\displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0}}$ տեսքի, թույլ է տալիս օգտվել երկանդամների կրճատ բազմապատկման բանաձևերից։

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$

${\displaystyle =a\cdot \left(x^{2}+{\frac {b}{a}}\cdot x\right)+c}$

${\displaystyle =a\cdot \left(x^{2}+{\frac {b}{a}}\cdot x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)+c}$

${\displaystyle =a\cdot \left(x^{2}+2\cdot x\cdot {\frac {b}{2a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)-{\frac {b^{2}}{4a}}+c}$

${\displaystyle =a\cdot \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {-b^{2}}{4a}}+{\frac {4ac}{4a}}}$

${\displaystyle =a\cdot \left(x-{\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}}$

${\displaystyle =a\cdot \left(x-x_{0}\right)^{2}+y_{0}}$, где ${\displaystyle x_{0}={\frac {-b}{2a}}}$ и ${\displaystyle y_{0}={\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}}$

Ֆունկցիայի զրոներ

Քառակուսային ֆունկցիան երկրորդ աստիճանի ամբողջ ռացիոնալ ֆունկցիա է, ուստի այն կարող է ունենալ ոչ ավելի, քան երկու զրոներ իրական տիրույթում։

Առանց համապատասխան քառակուսի հավասարման լուծման, քառակուսային ֆունկցիայի զրոները որոշելը հնարավոր է դիսկրիմինանտի հաշվման միջոցով։

Լրիվ դիսկրիմինանտ (որոշիչ)	Կրճատ դիսկրիմինանտ	Բերված դիսկրիմինանտ
${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$	${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$	${\displaystyle f(x)=x^{2}+px+q}$
${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$	${\displaystyle D=\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-ac}$	${\displaystyle D=\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}$

Անկախ դիսկրիմինանտի որոշմանձևից ճիշտ են հետևյալ պնդումները․

• Եթե ${\displaystyle D=0}$, ապա պարաբոլի գագաթի աբսցիսը կլինի ֆունկցիայի միակ զրոն։
• Եթե ${\displaystyle D>0}$, ապա ֆունկցիան ունի աբսցիսների առանցքի հետ երկու հատման կետ,այսինքն երկու զրո։
• Եթե ${\displaystyle D<0}$, ապա ֆունկցիան զրոներ չունի, քանի որ գրաֆիկը չի հատվում աբսցիսների առանցքի հետ։
• Օրինակ, ${\displaystyle f(x)=2x^{2}+8x+5}$ ֆունկցիայի համար՝

${\displaystyle D=b^{2}-4ac=8^{2}-4\cdot 2\cdot 5=64-40=24>0}$.

Սա նշանակում է,որ տվյալ ֆունկցիան ունի երկու իրական զրոներ։

Դրսևորումներ գործնականում

• Ազատ անկում կատարող մարմնի բարձրության կախումը ժամանակից․
• Շրջանի չափերի կախումը իր գծային չափերից օրինակ՝ շառավղից։
• Հավասարաչափ փոփոխական շարժման տեղափոխության կախումը ժամանակից։

Տես նաև

• Քառակուսային եռանդամ
• Պարաբոլ

Ծանոթագրություն

1. Квадратичная функция // Большая школьная энциклопедия. — М. : «Русское энциклопедическое товарищество», 2004. — С. 118—119.

Գրականություն

• Сканави М.И. График квадратного трёхчлена // Элементарная математика. — 2-е изд., перераб. и доп. — М., 1974. — С. 130—133. — 592 с.
• Каплан И.А. Тридцать третье практическое занятие (экстремум квадратичной функции) // Практические занятия по высшей математике. — 3-е изд. — Харьков, 1974. — С. 449—451.