Véges térfogat módszere

A véges térfogat módszere (angolul finite-volume method, FVM) módszer parciális differenciálegyenletek algebrai alakban való kiértékelésére és ábrázolására. Hasonló a véges differencia módszeréhez vagy végeselem módszeréhez az elemeket egy diszkrét helyen hálós térben számoljuk. A véges térfogat utal egy kis térfogatra amely minden hálópontot körülvesz. Ez a módszer könnyen használható strukturálatlan anyagok esetén.

1D példa

Vegyük a következő egyszerű 1D advekciós parciális differenciál egyenletet.

${\displaystyle \quad (1)\qquad \qquad {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}=0,\quad t\geq 0.}$

Itt, ${\displaystyle \rho =\rho \left(x,t\right)\ }$ jelenti az állapotváltozót és ${\displaystyle f=f\left(\rho \left(x,t\right)\right)\ }$ jelenti a fluxusát vagy áramlását a ${\displaystyle \rho \ }$ -nak. Természetesen, a pozitív ${\displaystyle f\ }$ jelenti a jobb oldali áramlást míg a negatív ${\displaystyle f\ }$ jelenti a bal oldali áramlást. Ha feltételezzük, hogy az (1) egyenlet egy állandó területű áramló közeg akkor tudjuk felosztani az ${\displaystyle x\ }$ térbeli területtel véges térfogatokra vagy cellákra ${\displaystyle i\ }$ indexű cellaközpontokkal. Bizonyos ${\displaystyle i\ }$ indexű cellák esetében meg tudjuk határozni a térfogat szerinti átlagos értékét a ${\displaystyle {\rho }_{i}\left(t\right)=\rho \left(x,t\right)\ }$ -nak a ${\displaystyle {t=t_{1}}\ }$ időpillanatba és az ${\displaystyle {x\in \left[x_{i-{\frac {1}{2}}},x_{i+{\frac {1}{2}}}\right]}\ }$ térfogatelemen, mint

${\displaystyle \quad (2)\qquad \qquad {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{1}\right)={\frac {1}{x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}\rho \left(x,t_{1}\right)\,dx,}$

és a ${\displaystyle {t=t_{2}}\ }$ időpillanatba mint,

${\displaystyle \quad (3)\qquad \qquad {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\frac {1}{x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}\rho \left(x,t_{2}\right)\,dx,}$

ahol ${\displaystyle x_{i-{\frac {1}{2}}}\ }$ és ${\displaystyle x_{i+{\frac {1}{2}}}\ }$ jelentik az alsó és felső felületét vagy az éleit a ${\displaystyle i^{th}\ }$ cellának.

Ha integráljuk az (1) egyenletet idő szerint akkor kapjuk:

${\displaystyle \quad (4)\qquad \qquad \rho \left(x,t_{2}\right)=\rho \left(x,t_{1}\right)-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{x}\left(x,t\right)\,dt,}$

ahol ${\displaystyle f_{x}={\frac {\partial f}{\partial x}}}$.

Ahhoz, hogy megkapjuk az átlag térfogatot a ${\displaystyle \rho \left(x,t\right)}$ a ${\displaystyle t=t_{2}\ }$ időpillanatban, integráljuk a ${\displaystyle \rho \left(x,t_{2}\right)}$ a ${\displaystyle \left[x_{i-{\frac {1}{2}}},x_{i+{\frac {1}{2}}}\right]}$ cellatérfogaton és osszuk az eredményt ${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}}$, i.e.

${\displaystyle \quad (5)\qquad \qquad {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\frac {1}{\Delta x_{i}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}\left\{\rho \left(x,t_{1}\right)-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{x}\left(x,t\right)dt\right\}dx.}$

Feltételezzük, hogy ${\displaystyle f\ }$ jól viselkedik, és meg tudjuk cserélni az integrálás sorrendjét. Továbbá, az áramlás merőleges a sejtelemre. Most, amíg egy dimenziójú az ${\displaystyle f_{x}\triangleq \nabla f}$, tudjuk alkalmazni a divergenciatételt, azaz ${\displaystyle \oint _{v}\nabla \cdot fdv=\oint _{S}f\,dS}$ és helyettesítjük a térfogati integrált az ${\displaystyle f(x)\ }$ értékeinek divergenciájával a (élek ${\displaystyle x_{i-{\frac {1}{2}}}\ }$ és ${\displaystyle x_{i+{\frac {1}{2}}}\ }$) cella felületén úgyhogy a véges térfogat:

${\displaystyle \quad (6)\qquad \qquad {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\bar {\rho }}_{i}\left(t_{1}\right)-{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left(\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{i+{\frac {1}{2}}}dt-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{i-{\frac {1}{2}}}dt\right).}$

ahol ${\displaystyle f_{i\pm {\frac {1}{2}}}=f\left(x_{i\pm {\frac {1}{2}}},t\right)}$.

Tehát származtathatunk egy fél diszkrét numerikus rendszert a fenti cellaközpontú problémát ${\displaystyle i\ }$ -vel indexelve és a cella élének fluxusát ${\displaystyle i\pm {\frac {1}{2}}}$ indexelve, differenciálva a (6) adott időben kapjuk:

${\displaystyle \quad (7)\qquad \qquad {\frac {d{\bar {\rho }}_{i}}{dt}}+{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left[f_{i+{\frac {1}{2}}}-f_{i-{\frac {1}{2}}}\right]=0,}$

ahol az élek fluxusa, ${\displaystyle f_{i\pm {\frac {1}{2}}}}$, rekonstruálható a cella átlagok inter- vagy extrapolációjával. A (7) egyenlet egzakt a térfogatátlagot tekintve; deriválása során nem használtunk approximációt.

Általános megmaradási tétel

Az általános megmaradási tételt a következő parciális differenciálegyenletként is tekinthetjük,

${\displaystyle \quad (8)\qquad \qquad {{\partial {\mathbf {u} }} \over {\partial t}}+\nabla \cdot {\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)={\mathbf {0} }.}$

Itt az ${\displaystyle {\mathbf {u} }\ }$ jelképezi az állapotvektor és ${\displaystyle \mathbf {f} \ }$ jelképezi a megfelelő fluxus tenzort. Megint fel tudjuk osztani a térbeli domíniumot véges térfogatelemekre vagy cellákra. Bizonyos ${\displaystyle i\ }$ cellákra, elvégezhetjük a térfogat integrálást a cella teljes térfogatára, ${\displaystyle v_{i}\ }$, amiből kapjuk:

${\displaystyle \quad (9)\qquad \qquad \int _{v_{i}}{{\partial {\mathbf {u} }} \over {\partial t}}\,dv+\int _{v_{i}}\nabla \cdot {\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\,dv={\mathbf {0} }.}$

Az első kifejezés integrálásával megkapjuk az átlag térfogatot és alkalmazzuk a divergencia tételét a második kifejezésre, így a hozam:

${\displaystyle \quad (10)\qquad \qquad v_{i}{{d{\mathbf {\bar {u}} }_{i}} \over {dt}}+\oint _{S_{i}}{\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\cdot {\mathbf {n} }\ dS={\mathbf {0} },}$

ahol ${\displaystyle S_{i}\ }$ jelképezi a teljes felületét a cella területnek és ${\displaystyle {\mathbf {n} }}$ egy egységvektor normálisa a felületre és kifele mutat. Tehát végül is képesek vagyunk megmutatni egy általános ekvivalens eredményt a (8),

${\displaystyle \quad (11)\qquad \qquad {{d{\mathbf {\bar {u}} }_{i}} \over {dt}}+{{1} \over {v_{i}}}\oint _{S_{i}}{\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\cdot {\mathbf {n} }\ dS={\mathbf {0} }.}$

Ismét, az élek fluxusainak értékei rekonstruálhatók a cellák átlagának inter-, extrapolációjával. Az aktuális numerikus rendszer függ az aktuális geometriai problémától és az anyag szerkezetétől.

A véges térfogat rendszerek konzervatívak mint a cella átlagok változása az élek fluxusán keresztül. Más szavakkal, hogy egy cella eltűnik mások megnőnek.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Finite volume method című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

• Eymard, R. Gallouët, T. R. Herbin, R. (2000) The finite volume method Handbook of Numerical Analysis, Vol. VII, 2000, p. 713–1020. Editors: P.G. Ciarlet and J.L. Lions.
• LeVeque, Randall (2002), Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press.
• Toro, E. F. (1999), Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Springer-Verlag.

További információk

• The finite volume method by R. Eymard, T Gallouët and R. Herbin, update of the article published in Handbook of Numerical Analysis, 2000
• The Finite Volume Method (FVM) – An introduction by Oliver Rübenkönig of Albert Ludwigs University of Freiburg, available under the GFDL. archív
• FiPy: A Finite Volume PDE Solver Using Python from NIST.
• CLAWPACK: a software package designed to compute numerical solutions to hyperbolic partial differential equations using a wave propagation approach