Trigonometrikus egyenlet

A trigonometrikus egyenlet olyan egyenlet, ahol az ismeretlen változó valamilyen szögfüggvény változójaként jelenik meg. A trigonometriai függvények periodicitása miatt a trigonometriai egyenleteknek általában végtelen sok megoldásuk van.

Példa

A trigonometrikus egyenletek megoldása közben gyakran kell trigonometrikus azonosságokat alkalmazni.

Tekintsük példaként a

${\displaystyle \sin \;x=\cos \;x}$

egyenletet.

A ${\displaystyle \cos x={\sqrt {1-\sin ^{2}\;x}}}$ azonosságot felhasználva

${\displaystyle \sin \;x={\sqrt {1-\sin ^{2}\;x}}.}$

Négyzetre emeléssel

${\displaystyle \sin ^{2}\;x=1-\sin ^{2}\;x}$

amiből

${\displaystyle 2\cdot \sin ^{2}\;x=1,}$

és

${\displaystyle \sin \;x=\pm \;{\sqrt {\frac {1}{2}}}}$

aminek megoldásai

${\displaystyle x=45^{\circ }\pm k\cdot 90^{\circ }\quad (k=0,1,2,...)}$

ívmértékben

${\displaystyle x={\frac {\pi }{4}}\pm k\cdot {\frac {\pi }{2}}\qquad (k=0,1,2,...).}$

Mivel a négyzetre emelés nem ekvivalens átalakítás, ezért a gyököket behelyettesítéssel ellenőrizni kell. Így a gyökök alakja:

${\displaystyle x={\frac {\pi }{4}}\pm 2k\cdot {\frac {\pi }{2}}\qquad (k=0,1,2,...).}$

Lásd még

• Egyenlet
• Trigonometria

Források

• Kleine Enzyklopädie. Mathematik. Leipzig: VEB Verlag Enzyklopädie. 1970. 288-292. oldal.