Teichmüller–Tukey-lemma

A Teichmüller–Tukey-lemma a halmazelmélet egyik tétele, ami azt állítja, hogy ha T véges jellegű tulajdonság, akkor tetszőleges halmaz T tulajdonságú halmazai között van maximális. Itt véges jellegű tulajdonságon azt értjük, hogy az adott tulajdonság akkor és csak akkor teljesül egy halmazra, ha annak minden véges részhalmazára teljesül.

Lemma

Legyen ${\displaystyle H}$ egy tetszőleges halmaz valamely részhalmazaiból álló halmazrendszer, amire teljesül, hogy ${\displaystyle A\in H}$ pontosan akkor, ha ${\displaystyle A}$ minden véges részhalmaza eleme ${\displaystyle H}$-nak. Ekkor minden ${\displaystyle A\in H}$ esetén van maximális ${\displaystyle A\subseteq B\in H}$ elem.

Bizonyítás

Az állítást a Zorn-lemma felhasználásával fogjuk bizonyítani. Vegyük a ${\displaystyle (P,\subseteq )}$ részbenrendezett halmazt, ahol ${\displaystyle P}$ az ${\displaystyle A}$-t (részhalmazként) tartalmazó ${\displaystyle H}$-beli halmazokból áll. Ez nemüres, mert például ${\displaystyle A}$ eleme. Azt kell belátnunk, hogy minden ${\displaystyle P}$-beli ${\displaystyle L}$ láncnak van felső korlátja. Legyen tehát ${\displaystyle L}$ lánc. Vegyük az összes ${\displaystyle L}$-beli halmaz ${\displaystyle K}$ egyesítését. Elég belátnunk, hogy ${\displaystyle K\in H}$, hiszen nyilvánvalóan tartalmazza ${\displaystyle L}$ minden elemét. ${\displaystyle H}$ végességi tulajdonsága miatt elég látni, hogy ${\displaystyle K}$ minden véges része ${\displaystyle H}$-beli. Legyen tehát ${\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{n}\}\subseteq K}$. ${\displaystyle K}$ definíciója miatt vannak ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}}$ ${\displaystyle L}$-beli halmazok, hogy ${\displaystyle x_{1}\in A_{1},\dots ,x_{n}\in A_{n}}$. Mivel ${\displaystyle L}$ lánc, ezek valamelyike, mondjuk ${\displaystyle A_{n}}$ tartalmazza a többit. De ekkor ${\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{n}\}\subseteq A_{n}}$, azaz véges részhalmaza egy ${\displaystyle H}$-beli halmaznak, tehát ${\displaystyle H}$ végességi tulajdonsága miatt maga is ${\displaystyle H}$-beli.

Alkalmazásai

A Teichmüller–Tukey-lemmát akkor a legcélszerűbb alkalmazni, amikor egy könnyen láthatóan véges jellegű tulajdonságot vizsgálunk. Így azonnal kapjuk, hogy minden vektortérben van bázis (maximális független vektorhalmaz), minden gráfnak van feszítő erdője, minden testben van transzcendencia-bázis (maximális algebrailag független részhalmaz), illetve hasonló egyszerű következményként adódik a Hausdorff–Birkhoff-tétel is.

Ekvivalens állítások

A Teichmüller–Tukey-lemma ekvivalens a következő állításokkal:

• kiválasztási axióma
• Zorn-lemma
• Hausdorff–Birkhoff-tétel
• jólrendezési tétel
• Tyihonov-tétel

Története

Ezt a tételt először Teichmüller publikálta.

Hivatkozások

• Hajnal András, Hamburger Péter: Halmazelmélet, Tankönyvkiadó, 1983.
• Rédei, László: Algebra I., Akadémiai Kiadó, Budapest, 1954
• Teichmüller, O.: Braucht der Algebraiker das Auswahlaxiom?, Deutsche Math. 4. 1939
• Tukey, J. W.: Convergence and uniformity in topology, Annals of Math. Studies, 1940