Regressziószámítás

A statisztikában a regressziószámítás vagy regresszióanalízis során két vagy több véletlen változó között fennálló kapcsolatot modellezzük. A regressziós modell tulajdonságai alapján megkülönböztethetünk lineáris és nemlineáris regressziót, az adataink alapján pedig idősor, keresztmetszeti, és panel regresszióanalízist.

A feladat

Bővebben: Görbeillesztés (matematika)

A regresszió feladata két vagy több valószínűségi változó közötti ${\displaystyle y=f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\quad }$ függvénykapcsolat meghatározása.

A változókat reprezentáló (n+1) dimenziós ${\displaystyle P(y;x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ vektor koordinátáira kapott m számú ${\displaystyle P_{1},P_{2},\dots ,P_{m}}$ mérési adatból meg kell határozni egy, a vizsgált jelenséget leíró, jól kezelhető függvényt: ${\displaystyle y=f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=f(X)}$, amelynek az ${\displaystyle X_{k}=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})_{k}}$ helyeken felvett ${\displaystyle {\hat {y}}_{k}=f(X_{k})}$ értékei

• vagy megegyeznek a megfelelő mért értékekkel: ${\displaystyle {\hat {y}}_{k}=y_{k}}$ - (interpoláció),
• vagy az ${\displaystyle e_{k}=(y_{k}-{\hat {y}}_{k})}$ eltérések valamilyen minimum-feltételnek eleget tesznek (regresszió).

Az eltérések mértékét többféleképpen lehet megadni. Leggyakrabban a hibaértékek ${\displaystyle e_{k}}$ eltérések : ${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}e_{k}^{2}}$ négyzetösszegének minimumát követeljük meg. (l.: legkisebb négyzetek módszere).

A vizsgált jelenség természete szabja meg a közelítésre alkalmas függvény típusát. Eszerint megkülönböztetünk lineáris és nemlineáris regressziót. A kapcsolt változók száma szerint ugyancsak eltérnek a modellek. Ilyen értelemben beszélünk két-, három- stb. változós regresszióról.

Lineáris regresszió

Bővebben: Lineáris regresszió és Többszörös lineáris regresszió

Az általános lineáris modell az

${\displaystyle {\hat {y}}=A_{0}+A_{1}x_{1}+A_{2}x_{2}+\dots +A_{n}x_{n}}$

függvény ${\displaystyle A_{i}}$ együtthatóinak meghatározását követeli meg. (Többváltozós lineáris regresszió.)

A leggyakoribb kétváltozós lineáris modell a síkon derékszögű koordináta-rendszerben pontokkal ábrázolható adathalmazra ${\displaystyle {\hat {y}}=A_{1}x+A_{0}}$ egyenletű egyenes illesztését írja elő. Ezt az egyenest szokás trend-vonalnak, az egyenlet ${\displaystyle A_{1}}$ együtthatóját trendnek (meredekség, tendencia), ${\displaystyle A_{0}}$ konstansát tengelymetszetnek nevezni.

Az együtthatók becslésére alkalmazott eljárások:

• a legkisebb négyzetek módszere (angolul Ordinary Least Squares – OLS)
• az általánosított legkisebb négyzetek módszere (Generalized Least Squares – GLS)
• az általánosított momentumok módszere (Generalized Method of Moments – GMM)
• a legnagyobb valószerűség módszere (Maximum Likelihood estimation – ML).

Nemlineáris regresszió

Nemlineáris regressziószámítást akkor alkalmaznak, ha a modell nemlineáris. Az ilyenkor alkalmazható linearizáló módszer abból áll, hogy az eredeti ${\displaystyle (y;x_{1},\dots )}$ változók helyett, velük összefüggő, de egymással lineáris kapcsolatban lévő ${\displaystyle (Y;X_{1},\dots )}$ változókat vezetünk be.

Például az ${\displaystyle y=A\cdot e^{Bx}\quad }$ formulából az ${\displaystyle X=x;Y=\ln {y}\quad }$ helyettesítésekkel az ${\displaystyle Y=\ln A+B\cdot X\quad }$ lineáris kapcsolat adódik. Ennek(a,b) együtthatóiból az eredeti formula konstansai adódnak: ${\displaystyle A=e^{a};B=b\quad }$.

Regresszió. Gyakorlati alkalmazások

• Kehl Dániel-Sipos Béla. Excel parancsfájlok felhasználása a statisztikai elemzésekben. Oktatási segédlet. Gyakorlati alkalmazások. OSZK-MEK (PDF és XLSM) (magyar nyelven). (Hozzáférés: 2022. március 1.)