Redukált tömeg

A fizikában a redukált tömeg egy úgynevezett „hatékonyabb” tömeg a newtoni mechanika kéttest-problémáinak megoldására. Ez egy olyan mennyiség, ami által a kéttest-problémát úgy tárgyalhatjuk, mintha egytest-probléma lenne.

Zárt rendszerben lejátszódó mechanikai jelenségek tárgyalásánál az általunk kiválasztott anyagi pont viszonylagos mozgását leírhatjuk egy ${\displaystyle \mu }$ tömegű anyagi pontnak a kölcsönhatási erő hatására létrejövő mozgásával.

A redukált tömeget általában ${\displaystyle \mu }$-vel jelöljük, tömeg dimenziója van, mértékegysége SI-ben kg.

Egyenlet

Ha a két tömeg ${\displaystyle m_{1}}$, illetve ${\displaystyle m_{2}}$, akkor az általunk kiválasztott tömeget helyettesítjük :${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$-vel, a rá ható erő pedig a két test között fellépő kölcsönhatási erő lesz.

Levezetés

A két tömeg és a rájuk ható kölcsönhatási erők

Vizsgáljuk az ${\displaystyle m_{1}}$, illetve az ${\displaystyle m_{2}}$ anyagi pontok mozgását az ${\displaystyle \mathbf {F} _{12}}$ (${\displaystyle m_{1}}$ részéről ${\displaystyle m_{2}}$-re ható kölcsönhatási erő) és ${\displaystyle \mathbf {F} _{21}}$ (${\displaystyle m_{2}}$ részéről ${\displaystyle m_{1}}$-re ható kölcsönhatási erő) hatására.

Az anyagi pontok mozgásegyenletei:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} _{1}}{dt}}={\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{1}}}}$ illetve ${\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} _{2}}{dt}}={\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{2}}}}$

ezeket egymásból kivonjuk:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} _{1}}{dt}}-{\frac {d\mathbf {v} _{2}}{dt}}={\frac {d(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})}{dt}}={\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{2}}}}$

A ${\displaystyle (\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})=\mathbf {v} _{12}}$ az ${\displaystyle m_{1}}$ relatív sebessége az ${\displaystyle m_{2}}$-höz képest. Továbbá mivel ${\displaystyle \mathbf {F} _{21}=-\mathbf {F} _{12}}$ (a kölcsönhatási erők ellentétes irányításúak), tovább rendezhetjük az egyenletet:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {v} _{12}=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\mathbf {F} _{12}}$

A ${\displaystyle d\mathbf {v} _{12}/dt}$ az ${\displaystyle m_{1}}$ tömegű anyagi pont ${\displaystyle \mathbf {a} _{12}}$ relatív gyorsulása. Bevezetve a

${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

jelölést, ahol ${\displaystyle \mu }$ tömeg dimenziójú mennyiség, és az egyenletbe helyettesítve következik:

${\displaystyle \mathbf {a} _{12}={\frac {\mathbf {F} _{12}}{\mu }}}$.

Ez az összefüggés kimutatja, hogy két kölcsönhatásban lévő anyagi pont viszonylagos mozgása megfelel egy ${\displaystyle \mu }$ tömegű anyagi pontnak a kölcsönhatási erő hatására létrejövő mozgásával. Ezért nevezzük a ${\displaystyle \mu }$ mennyiséget redukált tömegnek.

Források

Filep Emőd és Néda Árpád: Mechanika. Egyetemi jegyzet. 110. oldal.