Q-függvény

A matematikában és a statisztikában a Q-függvény a normális eloszlás farok valószínűsége.^[1][2]

Q-függvény

Más szavakkal, ${\displaystyle Q(x)}$ annak a valószínűsége, hogy egy normális eloszlású változó nagyobb értéket vesz fel, mint ${\displaystyle x}$. Egy másik definíció szerint a kumulatív eloszlás függvény egyszerű transzformáltja. ^[3] A normális eloszlás kumulatív eloszlási függvényéhez való kapcsolata miatt, a Q-függvény a hibafüggvény – mely fontos függvény a fizikában és a matematikában - kifejezéseivel is leírható.

Definíció és fő tulajdonságok

Formálisan, a Q-függvény definíciója:

${\displaystyle Q(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{x}^{\infty }\exp {\Bigl (}-{\frac {u^{2}}{2}}{\Bigr )}\,du.}$

így:

${\displaystyle Q(x)=1-Q(-x)=1-\Phi (x)\,\!,}$

ahol ${\displaystyle \Phi (x)}$ a normal Gauss eloszlás kumulatív eloszlás függvénye. A Q-függvény a hiba-függvény, vagy a komplementer hiba-függvény kifejezéseivel is leírható,^[2]

${\displaystyle Q(x)={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {erf} {\Bigl (}{\frac {x}{\sqrt {2}}}{\Bigr )}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {erfc} ({\frac {x}{\sqrt {2}}}).}$

A Q-függvény egy alternatív formája, mely jobban használható: ^[4]

${\displaystyle Q(x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sin ^{2}\theta }}\right)d\theta .}$

Ez a kifejezés csak pozitív ${\displaystyle x}$-ekre érvényes, de alkalmazható a ${\displaystyle Q(x)=1-Q(-x)\,\!}$ kifejezéssel együtt, a negatív értékekre. Ez a forma előnyös a véges integrálási tartományban.

Határok

A Q-függvény nem egy elemi függvény. A határai

${\displaystyle {\frac {x}{1+x^{2}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}<Q(x)<{\frac {1}{x}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2},\qquad x>0,}$

növekvő módon szorosak nagy x-ekre

A ${\displaystyle v=u^{2}/2}$ behelyettesítést alkalmazva, és definiálva ${\displaystyle \varphi (x)={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2},}$, a felső határ a következőképpen származtatható:

${\displaystyle {\begin{aligned}Q(x)&=\int _{x}^{\infty }\varphi (u)\,du\\&<\int _{x}^{\infty }{\frac {u}{x}}\varphi (u)\,du=\int _{x^{2}/2}^{\infty }{\frac {e^{-v}}{x{\sqrt {2\pi }}}}\,dv=-{\biggl .}{\frac {e^{-v}}{x{\sqrt {2\pi }}}}{\biggr |}_{x^{2}/2}^{\infty }={\frac {\varphi (x)}{x}}.\end{aligned}}}$

Hasonlóan a ${\displaystyle \scriptstyle \varphi '(u)\,{=}\,-u\,\varphi (u)}$-t, és a hányadosszabályt használva

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Bigl (}1+{\frac {1}{x^{2}}}{\Bigr )}Q(x)&=\int _{x}^{\infty }{\Bigl (}1+{\frac {1}{x^{2}}}{\Bigr )}\varphi (u)\,du\\&>\int _{x}^{\infty }{\Bigl (}1+{\frac {1}{u^{2}}}{\Bigr )}\varphi (u)\,du=-{\biggl .}{\frac {\varphi (u)}{u}}{\biggr |}_{x}^{\infty }={\frac {\varphi (x)}{x}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle Q(x)}$ -re megoldva, adódik az alsó határ.

A Q-függvény Chernov-korlátja:

${\displaystyle {\begin{aligned}Q(x)\leq {\frac {1}{2}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},\qquad x>0\end{aligned}}}$

Értékek

A Q-függvényt számos matematikai szoftver csomag közvetlenül számítja, mint például a Matlab, és a Mathematica. Néhány Q-függvény érték az alábbiakban látható:

Q(0.0) = 0.500000000 Q(0.1) = 0.460172163 Q(0.2) = 0.420740291 Q(0.3) = 0.382088578 Q(0.4) = 0.344578258 Q(0.5) = 0.308537539 Q(0.6) = 0.274253118 Q(0.7) = 0.241963652 Q(0.8) = 0.211855399 Q(0.9) = 0.184060125

Q(1.0) = 0.158655254 Q(1.1) = 0.135666061 Q(1.2) = 0.115069670 Q(1.3) = 0.096800485 Q(1.4) = 0.080756659 Q(1.5) = 0.066807201 Q(1.6) = 0.054799292 Q(1.7) = 0.044565463 Q(1.8) = 0.035930319 Q(1.9) = 0.028716560

Q(2.0) = 0.022750132 Q(2.1) = 0.017864421 Q(2.2) = 0.013903448 Q(2.3) = 0.010724110 Q(2.4) = 0.008197536 Q(2.5) = 0.006209665 Q(2.6) = 0.004661188 Q(2.7) = 0.003466974 Q(2.8) = 0.002555130 Q(2.9) = 0.001865813

Q(3.0) = 0.001349898 Q(3.1) = 0.000967603 Q(3.2) = 0.000687138 Q(3.3) = 0.000483424 Q(3.4) = 0.000336929 Q(3.5) = 0.000232629 Q(3.6) = 0.000159109 Q(3.7) = 0.000107800 Q(3.8) = 0.000072348 Q(3.9) = 0.000048096 Q(4.0) = 0.000031671

Irodalom

• Reiman istván: Matematika. (hely nélkül): Typotex Kft. 2011. ISBN 9789632793009  
• Gerőcs L. - Dr.Vancsó Ödön: Matematika. (hely nélkül): Akadémia Kiadó Zrt. 2010. ISBN 9789630584883  

További információk

• Normális eloszlás
• Gauss-féle hibafüggvény

Források

1. The Q-function, from cnx.org
2. Basic properties of the Q-function. [2009. március 25-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2012. március 3.)
3. Normal Distribution Function - from Wolfram MathWorld
4. An alternative form of the Q-function has been derived in this paper.. [2012. április 3-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2012. március 3.)

Külső hivatkozások

• http://cnx.org/content/m11537/latest/
• https://web.archive.org/web/20090325160012/http://www.eng.tau.ac.il/~jo/academic/Q.pdf
• http://mathworld.wolfram.com/NormalDistributionFunction.html
• https://web.archive.org/web/20120403231129/http://wsl.stanford.edu/~ee359/craig.pdf