1 A felnőtt klubokban játszott mérkőzések és gólok csak a bajnoki mérkőzések adatait tartalmazzák. Utolsó elszámolt mérkőzés dátuma: 2022. szeptember 11.
Bauer a svájci Winterthur városában született. Az ifjúsági pályafutását a Veltheim és a Grasshoppers csapatában kezdte, majd 2006-ban a Winterthur akadémiájánál folytatta.
2011-ben mutatkozott be a Grasshoppers első osztályban szereplő felnőtt keretében. 2016-ban az orosz Rubin Kazany, majd 2018-ban az angol Stoke City szerződtette.[1][2][3] 2019 és 2021 között a skót Celtic és az Ufa csapatát erősítette kölcsönben. A lehetőséggel élve, 2021-ben az orosz klubhoz igazolt. 2021. július 25-én, a CSZKA Moszkva ellen 1–0-ra elvesztett bajnokin debütált.[4] 2022. január 25-én másféléves szerződést kötött a Servette együttesével.[5] Először a 2022. február 12-én, a St. Gallen ellen 5–1-es vereséggel zárult mérkőzés félidejében, Moussa Diallo cseréjeként lépett pályára.[6] Első gólját 2022. szeptember 11-én, a Zürich ellen hazai pályán 3–2-re megnyert találkozón szerezte meg.[7]
A válogatottban
Bauer az U19-es és az U21-es korosztályú válogatottakban is képviselte Svájcot.
2017-ben debütált az osztrák válogatottban. Először a 2017. szeptember 5-ei, Grúzia ellen 1–1-es döntetlennel zárult VB-selejtezőn lépett pályára.[8]