M/G/1-típusú sorbanállás

A sorbanállás-elméletben az M/G/1-típusú sorbanállás olyan sorbanállási modell, ahol a beérkező entitások véletlenszerűek (M), a Poisson-folyamat szerint, a szolgáltatási idő (G) általános eloszlású, és egy kiszolgáló van.^[1] A jelölés a Kendall-féle jelölést követi, és ennek a kiterjesztése a M/M/1-típusú sorbanállás, ahol a szolgáltatási idő exponenciális eloszlású. Az M/G/1-típusú sorbanállás modellezi a rögzített fejű merevlemez működését.^[2]

A modell működése

A sorbanállás sztochasztikus folyamat, melynek állapottere {0,1,2,3...}, ahol a sorbanállók száma megfelel a számoknak. Az i - i+1 átmenet jelzi, hogy új sorbanálló tag érkezett. Az ilyen érkezések közötti időnek exponenciális eloszlása van, λ paraméterrel. Az i - i-1 átmenet jelzi, hogy egy tagot kiszolgáltak a sorból, és távozott. A kiszolgáláshoz szükséges idő általános eloszlási függvény szerint történik. Az érkezés és kiszolgálás közötti idő hossza valószínűségi változó, és feltételezhetően független más paraméterektől.

Sorbanállás hossza

Az állandósult sor hossz-eloszlásának generátor függvényét a Pollaczek–Khinchine transzformáció adja meg:^[2]

${\displaystyle \Pi (z)={\frac {(1-\rho )(1-z)G(z)}{G(z)-z}}}$

ahol ${\displaystyle G(z)=B^{*}[[\lambda (1-z)]}$ and ${\displaystyle B^{*}}$ a kiszolgálási idő eloszlásának Laplace–Stieltjes transzformációja. A Pollaczek–Khinchine-formula megadja a rendszer átlagos sorbanállási hosszát és az átlagos várakozási időt.^[3][4] Mivel az érkezéseket a Poisson-folyamat határozza meg, az érkezési elmélet érvényes.

M/G/1 típusú Markov-lánc

Tekintsük az M/G/1 sorbanállás beágyazott Markov-láncát, ahol az érkezés után azonnali időpontokat nézzük. Az ügyfélt zéró másodperc alatt kiszolgálják. A távozások között, 0, 1, 2, 3,…érkezés lehetséges. Így a lánc i–ből i-1, i, i+1, i+2…be mozoghat, ….^[5] A beágyazott Markov-lánc átmeneti mátrixa:

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}&a_{4}&\cdots \\a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}&a_{4}&\cdots \\0&a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}&\cdots \\0&0&a_{0}&a_{1}&a_{2}&\cdots \\0&0&0&a_{0}&a_{1}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}$

ahol:

${\displaystyle a_{v}=\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda u}{\frac {(\lambda u)^{v}}{v!}}{\text{d}}F(u)~{\text{ for }}v\geq 0}$

és F(u) a kiszolgálási idő eloszlása, λ a Poisson-féle érkezési ráta a sorba. A Markov-láncot a generátor mátrixxal, vagy mátrix blokkal, az M/G/1-típusú Markov-láncnak hívják, mely kifejezést M. F. Neuts-től származik.^[6][7][8] Egy stacionárius M/G/1-típusú Markov-lánc a Ramaswami-formulával számítható.^[8]

Több kiszolgáló esete

Egy M/G/k-típusú sorbanállás, ahol k>1 számú kiszolgáló van, még nyitott probléma.^[9] Ebben a modellben, az érkezések Poisson-folyamat szerint történnek, és bármely kiszolgáló elláthatja a bejövőt. Különböző szerzők számos közelítést alkottak a sorbanállás átlagos nagyságára, az átlagos késleltetési időre és az állandó eloszlásra.^[10]

Irodalom

• Ross, Sheldon M.; Seshadri, Sridhar: Hitting time in an M/G/1 queue. (hely nélkül): Journal of Applied Probability:. 1999.  
• Stewart, William J: Probability, Markov chains, queues, and simulation. (hely nélkül): Princeton University Press. 2009. ISBN 0-691-14062-6  

Kapcsolódó szócikkek

• Sorbanállási elmélet
• M/M/1-típusú sorbanállás
• Erlang-eloszlás
• Exponenciális eloszlás
• Laplace–Stieltjes transzformáció
• Valószínűségi változó
• Sűrűségfüggvény
• Skálaparaméter
• Alakparaméter
• Gamma-eloszlás
• Gumbel-eloszlás
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Markov-lánc
• Matematikai statisztika
• Burr-eloszlás

Források

1. Gittins, John C. (1989). Multi-armed Bandit Allocation Indices. John Wiley & Sons. p. 77. ISBN 0471920592
2. Harrison, Peter; Patel, Naresh M. (1992). Performance Modelling of Communication Networks and Computer Architectures. Addison–Wesley.
3. doi:10.1007/BF01194620
4. Khintchine, A. Y (1932). „Mathematical theory of a stationary queue”. Matematicheskii Sbornik 39, 73–84. o. (Hozzáférés: 2011. július 14.) 
5. Stewart, William J.. Probability, Markov chains, queues, and simulation. Princeton University Press, 510. o. (2009). ISBN 0-691-14062-6 
6. Neuts, M. F . (1989). „Structured Stochastic Matrices of M/G/1 Type and Their Applications”, New York, Kiadó: Marcel Dekk.. 
7. doi:10.1080/15326349808807483
8. doi:10.1093/acprof:oso/9780198527688.001.0001
9. doi:10.1007/s11134-009-9147-4
10. doi:10.1007/s11134-008-9073-x